Fortgeschrittene Zahlentheorie in Corona-Zeiten (SS 2021)

- Video Kurs -

 

Dozent: O. Bräunling

Neuigkeiten:


  • Zum Ablauf der münlichen Prüfungen:

    Die mündlichen Online-Prüfungen finden statt im



    Universitätsrechenzentrum
    Hermann-Herder-Straße 10
    79104 Freiburg im Breisgau


    Falls Sie noch nie dort waren: Das ist ca. 3 Min zu Fuß vom Mathematischen Institut gelegen (vom math. Institut "die Straße runter an der Mensa vorbei", im Prinzip geradeaus).

    Der Plan ist, dass ich dann dort vor der Tür stehe (also der Gebäudetür) und wir gemeinsam [mit Maske!!] zum SR 226 gehen (dies involviert mehrere Treppen, falls dies ein Problem ist, melden Sie sich bitte). Dort sind dann zwei Räume und wir sitzen separat in diesen Räumen und unterhalten uns über die Videokonferenzumgebung BBB (BigBlueButton). Beisitzende sind online dort auch zugeschaltet.

    Der "Online"-Aspekt der Prüfung ist daher, dass wir nicht im gleichen Raum sein werden, aber ansonsten ist es schon eine Prüfung sozusagen "in einem Uni-Gebäude".

    Die Uhrzeiten für die individuellen Prüfungen sollten Sie bereits per E-Mail erhalten haben. Falls sich bei den Prüfungen aus welchen Gründen auch immer Verzögerungen ergeben (Technik und so...), kann es auch sein, dass ich vielleicht nicht pünktlich zum verabredeten Zeitpunkt an der Gebäudetür stehe. Da die beisitzende Person nicht im Gebäude ist, hab ich sozusagen niemanden, den ich zur Tür schicken kann, um mitzuteilen "Es dauernt noch drei Minuten" oder so. Trotzdem gibt es nach jeder Prüfung etwas Puffer, d.h. eigentlich stehen die Chancen gut, Verzögerungen wieder einfangen zu können.

    *Bitte vergessen Sie nicht Ihren Studierendenausweis oder ein Identifikationsdokument, und eine Maske* Dass Ihr Ausweis die Gebäude-Tür öffnet ist nicht notwendig, da ich Sie ja vor dem Eingang abholen werde.

    Es sind keine Hilfsmittel zugelassen (kein Taschenrechner, Formelsammlungen, etc.).




  • Fragen Sie sich, welche Veranstaltungen im Wintersemester eine sinnvolle Fortsetzung sein könnten?

    Das Seminar Galois Groups and Fundamental Groups (bei Prof. Annette Huber) wäre eine sehr sinnvolle Fortsetzung.

    Vorbesprechung: Do 22.07.2021 (siehe Vorlesungsverzeichnis für Details)

    Dort wird z.B. geklärt, warum wir in unserer Vorlesung einen Begriff von Verzweigung bei Abbildungen von Riemannschen Flächen hatten, es aber auch in der Zahlentheorie (z.B. im Kontext von "Algebraischer Zahlentheorie" einen Begriff von Verzeigung gibt, und warum diese gleich sind, in einem gewissen Sinne, etc.) Und war es nicht dankanstroßprovozierend, dass zu jedem Punkt auf einer Riemannschen Fläche ein nicht-archimedischer Absolutbetrag gehörte, ganz ähnlich wie zu Primzahlen p in Z?

    Außerdem gibt es eine Vorlesung über Algebraische Geometrie bei Prof. Stefan Kebekus. Wir haben uns ja hauptsächlich mit Kurven im P^2 beschäftigt, aber natürlich sollte das alles auch in höheren Dimensionen funktionieren, oder?


 

Diese Vorlesung entwickelt die Zahlentheorie auf Grundlage der Algebra und Zahlentheorie Vorlesung weiter. Sie ist unabhängig von der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie, d.h. man kann beide Vorlesungen (in beliebiger Reihenfolge) hören, oder auch nur eine davon.

Grundkenntnisse in der Funktionentheorie wären wünschenswert, aber wir benötigen nur wenig und können dies bei Bedarf auch einflechten (oder man hört es parallel). Es wird viele Querverbindungen zu anderen Vorlesungen geben (Riemannsche Flächen, Algebraische Kurven, Algebraische Zahlentheorie, Kommutative Algebra... und auch wenn keine der genannten Vorlesungen eine Vorbedingung für diese Vorlesung ist, so wird es sehr hilfreich sein, wenn man wenigstens eine dieser Sachen schonmal gehört hat.)

Ausgangspunkt der Vorlesung ist das Problem, für gewisse Gleichungen ganzzahlige oder rationale Lösungen zu finden, also z.B. die Frage: Sei n>1. Welche rationale Zahlen x,y,z lösen die Gleichung

xn + yn = zn.

Diese Ausgangsfrage ist fast identisch zum Ausgangsproblem der Vorlesung Algebraische Zahlentheorie, allerdings werden wir die Fragestellung mit völlig anderen Methoden angehen. Auf dem Weg dahin werden wir elliptische Kurven, p-adische Methoden, Modulformen und Galoiskohomologie kennenlernen. Außerdem werden uns eine Reihe bislang ungelöster mathematischer Probleme begegnen, und einige, die erst in den letzten 30 Jahren gelöst wurden.

 

 

 

Kurze Übersicht:

Wegen Covid-19 wird der Kurs über Videos laufen. Diese Videos gibt es zum Herunterladen weiter unten auf dieser Seite. Es sind also keine Video-Live-Vorlesungen.


Ich werde die Vorlesung in "Wochen" einteilen und dazu gibt es jeweils Videos und weiteres Material. Diese Videos entsprechen nicht "einer Vorlesung", sondern eher einzelnen Themen. Sie sehen es weiter unten ja selbst. Dies macht es leichter beim Nachlernen Themenblöcke gezielt zu finden.

Wir benutzen in diesem Kurs ein (Online-)Computer-Algebra System, und zwar SAGE/CoCalc. Keine Sorge: Sie müssen keine Software installieren und Sie müssen nicht programmieren können. Man kann SAGE über den Webbrowser laufen lassen. Ich erkläre alles, was man wissen muss, in den Videos. Ein kleines Tutorial zu Sage ist auch jetzt schon weiter unten bei den Videos zu finden, falls Sie vielleicht schon jetzt etwas experimentieren wollen:

 

Übungsgruppen:

Übungsgruppe: Es gibt genau eine Übungsgruppe und zwar

    Mo 16-18 - Videokonferenzraum [BigBlueButton Raum Krush]
   

und diese Angaben beziehen sich nicht auf die realen Räume, sondern auf Videokonferenzräume unter https://www.math.uni-freiburg.de/lehre/virtuelle_veranstaltungen.html.


Die Übungsgruppen finden als Videokonferenz über Big Blue Button statt. Dort kann man auch Dateien hochladen und den anderen Teilnehmern zeigen (wie als würde man Slides in einer Präsentation zeigen, man kann aber auch z.B. durch eine PDF durchscrollen).

Blätter: Abgabe wird immer Donnerstags 12 Uhr sein über ILIAS.

Es läuft dann so: Es gibt ganz reguläre Übungsblätter. Ihre Lösung sollen Sie dann als PDF einreichen. Beispielsweise:
- könnten Sie Ihre Lösung teXen, oder
- Sie schreiben Ihre Lösung sehr sauber auf Papier, scannen oder fotografieren dies (z.B. mit dem Handy), und konvertieren dies dann in eine PDF (dafür gibt es zahlreiche frei verfügbare Tools, z.B. pdf2Go wäre eine Variante)
- wichtig ist aber, dass die fotografierten Abgaben wirklich leserlich sein müssen. So Argumente wie "oh, jetzt war der Teil ganz rechts von der Formel in der Spalte, der passte nicht mehr in den Scanner, aber man kann sich ja denken, was da steht" (so Fermat-style wie mit "Die Spalte ist zu klein") ist nicht cool.

 

Prüfungstermin:

Prüfungstage (mündliche Prüfungen): 20. + 21. Juli 2021

Video-Vorlesungen:

Woche 1:

 

Woche 2:

 

Woche 3:

 

Woche 4:

 

Woche 5:

       

 

Woche 6:

       

 

Woche 7:

 

Woche 8:

         

 

Woche 9:

         

 

Woche 10:

 

Woche 11:

    

 

Woche 12:


        (noch nicht online -- aber wir machen erstmal die mündlichen Prüfungen)