
\documentclass{wassignment}

\usepackage{wasysym}
\usepackage{stmaryrd}

\begin{document}
\header{1}{20.12.2013}{10.01.2014}

\taskstar Sei $N$ eine ganze Zahl und $m$ eine zu $N$ teilerfremde Zahl. Beweisen Sie:
Es gibt eine ganze Zahl $n\ge 1$ so, dass
\[ N | (m^n -1). \]
\punkte{2}

\taskstar Sei $k$ ein K\"orper.
Beweisen Sie, dass das Zentrum von $\text{GL}_n(k)$ nur aus den Skalarmatrizen $\M{\alpha& & \\&\ddots&\\&&\alpha}$ besteht.
\punkte{3}

\taskstar Sei $G$ eine Gruppe und $(G,G)$ die Untergruppe, die von allen Elementen der Form
$aba^{-1}b^{-1}, a,b \in G$ erzeugt wird. Beweisen Sie:
\begin{enumerate}
\item Jeder Automorphismus $\varphi: G \rightarrow G$ erf\"ullt $\varphi((G,G))=(G,G)$. Insbesondere ist $(G,G)$ ein
Normalteiler.
\item $G/(G,G)$ ist abelsch.
\item $p: G \rightarrow G/(G,G)$ erf\"ullt die folgende universelle Eigenschaft: F\"ur jeden Gruppenhomomorphismus $\alpha: G \rightarrow H$, wobei $H$ abelsch ist, gibt es
einen eindeutigen Gruppenhomomorphismus $\widetilde{\alpha}: G/(G,G) \rightarrow H$, so dass  $\alpha = \widetilde{\alpha} \circ p$.
\end{enumerate}
\punkte{6}

\taskstar Betrachten Sie die Abbildung $\sigma: \{1,\dots,10\} \rightarrow \{1,\dots,10\}$, welche durch
die Wertetabelle
\[ \begin{array}{l|l|l|l|l|l|l|l|l|l}
1&2&3&4&5&6&7&8&9&10\\
\hline
7&3&8&9&6&5&4&2&10&1
\end{array}
\]
gegeben ist. Bestimmen Sie die Ordnung von $\sigma$ in $S_{10}$.
\punkte{2}
\newpage

\taskstar Sei $A$ ein Ring (kommutativ mit Eins), $a\in A$ heisst {\em nilpotent}, wenn es ein $n>0$ gibt mit $a^n=0$. Zeigen Sie: Die Menge der nilpotenten Elemente von $A$ ist ein Ideal und in allen maximalen Idealen enthalten.
\punkte{4}

\taskstar
Zerlegen Sie das Polynom $X^{12}-2X^6+1 \in \Q[X]$ in irreduzible Faktoren. 
\punkte{3}



%GRAD & MINIMALPOLYNOM
\taskstar Bestimmen Sie den Grad der K\"orpererweiterung
\[ \Q(\sqrt{1+i},\sqrt{1-i})/\Q. \] 
\punkte{4}

\taskstar
Konstruieren Sie das regelm\"assige F\"unfeck mit Zirkel und Lineal.
\begin{enumerate}
\item Geben Sie die Konstruktion (mit Begr\"undung) an. 
\item F\"uhren Sie die Konstruktion auf Papier aus.
\end{enumerate}

{\em Hinweis: Sei $\zeta \in \C$ eine primitive 5. Einheitswurzel. Finden Sei ein normiertes quadratisches Polynom $p \in \Q[X]$ mit 
$p(\eta)=0$ f\"ur 
die reelle Zahl $\eta = \zeta +\overline{\zeta}$. Nutzen Sie dieses, um zun\"achst $\frac{1}{2}\eta$ zu konstruieren. }
\punkte{4+3}



%\taskstar Finden Sie den gr\"o\ssten gemeinsamen Teiler von
%\[ 11+7i \qquad 18-i \]
%im Ring $\Z[i]$.
%\punkte{1}


%\taskstar
%Geben Sie einen Isomorphismus $\text{SL}_2(\F_3)/\{\pm 1\} \cong A_4$ an (mit Beweis). Folgern Sie $\text{SL}_2(\F_3) \not\cong S_4$, obwohl
%$\# \text{SL}_2(\F_3) =  \# S_4$.
%\punkte{3}


%\taskstar Bestimmen Sie die Automorphismengruppe der Quaternionengruppe (siehe Aufgabe 3.2).
%\punkte{2}



\taskstar Konstruieren Sie explizit einen K\"orper $\F$ mit 9 Elementen. Bestimmen Sie die Struktur der
multiplikativen Gruppe $(\F - \{0\}, \cdot)$.
%{\em Hinweis: Die Abbildung $\F_3 \rightarrow \F_3, x\mapsto x^2$ ist nicht surjektiv.}
\punkte{4}

%\taskstar Beweisen Sie, dass unter den Gruppen der Ordnung $<60$ nur diejenigen mit
%Primzahlordnung einfach sind.
%\punkte{2}



%\taskstar 
%Let $L |K$ eine K\"orpererweiterung. Zeigen Sie $a\in L$ ist algebraisch \"uber $K$ genau dann, wenn $a^{-1} \in K[a]$.
%\punkte{1}


%\taskstar Sei $G$ eine einfache Gruppe der Ordnung 60.
%\begin{enumerate}
%\item Beweisen Sie, dass $G$ sechs 5-Sylowgruppen, zehn 3-Sylowgruppen und f\"unf 2-Sylowgruppen hat.
%\item Beweisen Sie, dass $G \cong A_5$. 
%\end{enumerate}
%\punkte{8}

%\taskstar
%Sei $\omega \in \C$ eine primitive 3. Einheitswurzel. Wir haben gesehen, dass sie mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist. Die (ebenfalls konstruierbare) komplexe Zahl
%\[ \frac{3 \omega+2}{\sqrt{7}} \]
%liegt auf dem Einheitskreis. Beweisen Sie: Wenn eine Winkeldreiteilung des entsprechenden Winkels
%gegeben ist, dann kann daraus mit Zirkel und Lineal das regelm\"assige 7-Eck konstruiert werden.
%\punkte{8}

\vskip3ex
\begin{center}{\em\large Frohe Weihnachten!}\end{center}

\end{document}
