Informationen zur Vorlesung
Einführung in topologische Gruppen
Wintersemester 2019/20
Dr. Oliver Bräunling (Raum 436, Ernst-Zermelo-Str. 1)Dr. Lukas Braun
(Raum 433, Ernst-Zermelo-Str. 1)
NEU: Die Vorlesung ist neu. Sie ist nicht der Originalversion des Vorlesungsverzeichnisses für
das Wintersemester eingetragen.
Wichtig: Die Vorlesung beginnt erst in der zweiten Vorlesungswoche, also am 29. Oktober
Neu: Die Verwendbarkeit der Vorlesung
wurde aktualisiert. |
Eine topologische Gruppe ist zugleich eine Gruppe und ein topologischer
Raum. Man fordert, dass die Gruppenstruktur stetig bezüglich der Topologie ist.
In der Algebra lernt man, dass man endliche Gruppen klassifizieren kann, indem
man sie als Erweiterung
N -> G -> G/N
(die erste Abbildung ist die Einbettung der Untergruppe, die zweite die
Quotientenabbildung)
schreibt, wobei N ein Normalteiler und G/N der
entsprechende Quotient ist. Dies reduziert (mehr oder weniger) die
Klassifikation auf die endlichen einfachen Gruppen, also jene, wo keine
weitere solche Zerlegung mehr möglich ist.
Bei topologischen Gruppen geht man
ganz analog vor. Nur diesmal sind unsere Gruppen meist ganz und gar nicht
endlich, und statt beliebiger Normalteiler muss man sich auf abgeschlossene
Normalteiler einschränken, damit auch der Quotient G/N wieder eine vernünftige
Topologie trägt. Ein Beispiel: Man beweist, dass die Zusammenhangskomponente des
neutralen Elements der Gruppe, genannt G⁰, immer ein abgeschlossener
Normalteiler sein muss. Man erhält daher immer eine Zerlegung
G⁰ -> G ->
G/G⁰,
wobei G⁰ eine zusammenhängende Gruppe ist und G/G⁰ eine "total
unzusammenhängende" Gruppe. Daher könnte man sich für eine weitere
Klassifikation auf diese zwei Arten von topologischen Gruppen einschränken.
Allerdings wird jede beliebige Gruppe, wenn man sie mit der diskreten Topologie
versieht, eine topologische Gruppe, d.h. manchmal führt eine solche Reduktion
nur auf ein Klassifikationsproblem, was bekanntermaßen hoffnunglos ist.
Wie
Gromov schon sagte: Jede Aussage, die für alle abzählbaren Gruppen gilt, ist
entweder trivial oder falsch. :-)
Übungsaufgaben
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Achtung, auf Blatt 5 gab es eine kleine Änderung in 3b. So wie es in der ersten Version stand, ist es nicht möglich.
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Termine
Vorlesungstermine
Zeit und Ort der Vorlesung: jeden Di 14-16 Uhr, SR 218
Übungen: Di 16-18 Uhr, SR 218
Studien/Prüfungsleistung
Verwendbarkeit:
- BSc Mathematik (PO 2012): Wahlpflichtmodul (6 ECTS)
- 2-Hf-Bachelor (PO 2015): Modul im Optionsbereich (6 ECTS)
- MSc Mathematik (PO 2014): Reine Mathematik oder Mathematik oder im Wahlmodul
Weitere Informationen entnehmen Sie bitte dem Modulhandbuch Ihres Studienganges.