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%  Tutte's 8-cage


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\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 0 (Präsenzblatt)}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 1:} \\
Sei $f \colon \CC \to \CC$, $z \mapsto \overline{z}$ die komplexe Konjugation.
\begin{enumerate}[label =(\alph*)]
	\item Zeigen Sie, dass $f$ eine $\RR$-lineare Abbildung ist. Untersuchen Sie $f$ auf $\CC$-Linearität.
	\item Bestimmen Sie die darstellende Matrix von $f$ als $\RR$-lineare Abbildung bzgl. der $\RR$-Basis $(1,i)$ von $\CC$.
	\item Wir identifizieren wie üblich $\CC$ mit $\RR^2$ via $$x + iy \mapsto \begin{pmatrix}
	x \\ y
	\end{pmatrix}. $$
	(Das ist der $\RR$-lineare Isomorphismus, der die Basis $(1,i)$ von $\CC$ auf die Standardbasis von $\RR^2$ abbildet.)\\
	Ist $f$ (aufgefasst als Abbildung $\RR^2 \to \RR^2$) differenzierbar? 
\end{enumerate}

\underline{Aufgabe 2:} \\
Sei 
\begin{align*}
	f(x) = \sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k
\end{align*}
eine reelle Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $x_0 \in \RR$. Erinnern Sie sich an den \emph{Konvergenzradius} $R$ dieser Potenzreihe: Er ist durch 
\begin{align*}
	R = \sup\left\{ |x-x_0| ~ \Bigg| ~ \sum_{k=0}^\infty a_k (x-x_0)^k \text{ konvergiert}\right\}
\end{align*}
definiert. 
\begin{enumerate}[label =(\alph*)]
	\item Wiederholen Sie die wichtigsten Ergebnisse über den Konvergenzradius. Stichworte:
	\begin{itemize}
		\item Kriterien zur Berechnung von $R$
		\item \emph{Absolute} Konvergenz von $f(x)$ für $|x-x_0| < R$, Divergenz für $|x-x_0| > R$
		\item Wenn $f$ im Inneren des Konvergenzkreises eine differenzierbare Funktion definiert, was ist dann $f'$?
		\item Wie verhält es sich mit gleichmäßiger Konvergenz?
		\item $\ldots$
	\end{itemize}
	\item Zeigen Sie: Hat $f$ den Konvergenzradius $R$ und ist $f$ im Inneren des Konvergenzkreises differenzierbar, so ist $f'$ ebenfalls eine Potenzreihe mit Konvergenzradius $R$. \\
	
	\emph{Hinweis:} $\sqrt[k]{k} \to 1$ für $k \to \infty$.
\end{enumerate}

\underline{Aufgabe 3:} \\
Die Taylorreihe des Arkustangens um $0$ lautet:
\begin{align*}
	\arctan(x) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k \frac{x^{2k+1}}{2k+1}.
\end{align*}
\begin{enumerate}[label =(\alph*)]
	\item Bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe. 
	\item Bestimmen Sie die Taylorreihe von
	\begin{align*}
		x \mapsto \frac{1}{x^2+1}.
	\end{align*}
	Was ist ihr Konvergenzradius? Interpretieren Sie das Ergebnis anschaulich.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}


\textbf{{\red Keine Abgabe -- das Blatt wird in der zweiten Vorlesungswoche als Präsenzblatt besprochen.}}

\end{document}




