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%  Tutte's 8-cage


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\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 1}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 1:} (4 Punkte) \\
Sei $f \colon \CC \to \CC$ komplex differenzierbar. Als Funktion $\RR^2 \to \RR^2$ aufgefasst, wissen wir bereits aus der Vorlesung, dass die Ableitung die Gestalt 
\begin{align*}
	Df = \begin{pmatrix}
	a & -b \\ b & a
	\end{pmatrix} \qquad \qquad \text{mit} \qquad a,b \in \RR
\end{align*}
besitzt. Beweisen Sie, dass es $r \geq 0$ und $\varphi \in \RR$ gibt, sodass
\begin{align*}
Df = r \cdot \begin{pmatrix}
\cos \varphi & -\sin \varphi \\ \sin \varphi & \cos \varphi
\end{pmatrix}.
\end{align*}
Interpretieren Sie dies geometrisch: Da die Ableitung die lokale lineare Annäherung an eine Funktion darstellt, lernen wir, dass holomorphe Funktionen lokal wie ... aussehen. \\

\underline{Aufgabe 2:} (3+2+4 Punkte) \\
Für eine komplexe Zahl $z \in \CC \setminus \RR_{\leq 0}$ definieren wir den Logarithmus als
\begin{align*}
	\log z := \log |z| + i \arg z,
\end{align*}
wobei $\arg z$ die eindeutige Zahl $\varphi \in (-\pi, \pi)$ bezeichnet, sodass $z = |z| e^{i \varphi}$. (Die Zahl $\varphi$ heißt \emph{Argument} von $z$.)
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Zeigen Sie mit den Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen, dass $z \mapsto \log z$ auf $\CC \setminus \RR_{\leq 0}$ holomorph ist.
	\item Berechnen Sie die Ableitung von $z \mapsto \log z$.
	\item Zeigen Sie, dass es nicht möglich ist, $\log$ zu einer stetigen Funktion auf ganz $\CC \setminus \{0\}$ fortzusetzen.
\end{enumerate}


\underline{Aufgabe 3:} (2+2+3 Punkte) \\
Gegeben sei die folgende Potenzreihe:
\begin{align*}
	f(z) := \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} \cdot (z-1)^n
\end{align*}
Sei $R$ der Konvergenzradius der obigen Reihe. Aus der Analysis wissen wir, dass für $z \in \RR$ mit $|z-1| < R$ die Gleichung $f(z) = \log z$ gilt.
\begin{enumerate}[label=(\alph*)]
	\item Bestimmen Sie $R$.
	\item Bestimmen Sie die Ableitung $f'$.
	\item Zeigen Sie, dass $f(z) = \log z$ für alle $z \in \CC$ mit $|z-1| < 1$ gilt. \\
	\emph{Hinweis:} Leiten Sie $z \mapsto f(z) - \log z$ ab.
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\underline{Bonusaufgabe 4:} (4 Punkte) \\
Wir schreiben $\CC^* := \CC \setminus \{0\}$. Zeigen Sie, dass es keine stetige Funktion $w \colon \CC^* \to \CC^*$ mit $w(z)^2 = z$ für alle $z \in \CC$ gibt. \\

\emph{Hinweis:} Führen Sie einen Widerspruchsbeweis und betrachten Sie $g(z) := \frac{w(z^2)}{z}$. \\


\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 27.10.2023 bis 10 Uhr.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

{\red Noch ergänzen: Zu wievielt darf abgegeben werden?}

\end{document}




