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%  Tutte's 8-cage


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\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 2}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 1:} (1+2+2+(2 Bonus) Punkte) \\
Welche der folgenden Funktionen $f_j \colon \CC \to \CC$ sind holomorph? 
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $f_1(z) = \re(z)$,
	\item[(b)] $f_2(z) = f \circ g$, wobei $f,g \colon \CC \to \CC$ holomorph sind.
	\item[(c)] $f_3(z) = \overline{f(\overline z)}$ für eine holomorphe Funktion $f \colon \CC \to \CC$.
\end{enumerate}
\emph{Bonus:} Sei $U \subset \CC$ ein (nicht-leeres) Gebiet. Finden Sie alle holomorphen Funktionen $f \colon U \to \CC$ mit $f(U) \subset \RR$. Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit Teilaufgabe (a) oben! \\

\underline{Aufgabe 2:} (2+2+2 Punkte) \\
Für $v,w \in \CC$ bezeichne $[v;w]$ die (orientierte) Strecke von $v$ nach $w$. Des Weiteren sei $\gamma \colon [0,1] \to \CC$, $\gamma(t) = e^{2\pi i t}$. Berechnen Sie:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $$\int_{[i;1]} z^2 \mud z,$$
	\item[(b)] $$\int_{[0;i]} ze^z \mud z,$$
	\item[(c)] $$\int_\gamma \frac{z}{e^z-1} \mud z.$$
\end{enumerate}

\underline{Aufgabe 3:} (1+1+2+2 Punkte) \\
Seien $\gamma_1, \gamma_2 \colon [0,1] \to \CC$ Kurven. Wir nennen $\gamma_j(0)$ den \emph{Anfangspunkt} und $\gamma_j(1)$ den \emph{Endpunkt} von $\gamma_j$.
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Gilt $\gamma_1(1) = \gamma_2(0)$ (d.h. $\gamma_2$ beginnt an dem Punkt, an dem $\gamma_1$ endet), so definiert man die \emph{Komposition} von $\gamma_1$ und $\gamma_2$ via
	\begin{align*}
		(\gamma_1 \cdot \gamma_2)(t) := \begin{cases}
		\gamma_1(2t), & \text{ für } 0 \leq t \leq \frac12 \\
		\gamma_2(2t-1), & \text{ für } \frac12 \leq t \leq 1
		\end{cases}
	\end{align*}
	Zeigen Sie, dass $\gamma_1 \cdot \gamma_2$ wieder eine Kurve ist.
	\item[(b)] Wir definieren die \emph{Umkehrung} von $\gamma_1$ durch
	\begin{align*}
		\gamma_1^{-} := \gamma_1(1-t).
	\end{align*} 
	Zeigen Sie, dass $\gamma_1^{-}$ wieder eine Kurve ist.
	\item[(c)] Sei $f$ stetig. Zeigen Sie:
	\begin{align*}
		\int_{\gamma_1 \cdot \gamma_2} f(z) \mud z = 	\int_{\gamma_1} f(z) \mud z + \int_{\gamma_2} f(z) \mud z,
	\end{align*}
	und
		\begin{align*}
	\int_{\gamma_1^-} f(z) \mud z = 	-\int_{\gamma_1} f(z) \mud z.
	\end{align*}
	\item[(d)] Sei $\gamma \colon [c,d] \to \CC$ eine stetig differenzierbare Kurve. Ferner sei $\phi \colon [a,b] \to [c,d]$ stetig differenzierbar mit $\phi(a) = c$ und $\phi(b) = d$. Zeigen Sie, dass die \emph{Umparametrisierung} $\gamma \circ \phi$ ebenfalls eine Kurve ist, und dass für stetige Funktionen $f$ gilt:
	\begin{align*}
		\int_\gamma f(z) \mud z = 	\int_{\gamma \circ \phi} f(z) \mud z.
	\end{align*}
\end{enumerate}

\underline{Aufgabe 4:} (3 Punkte) \\
Ist $u \colon \RR^2 \to \RR^2$, $u(x,y) = x^2 - y^2$ der Realteil einer holomorphen Funktion $\CC \to \CC$? Bestimmen Sie diese gegebenenfalls. \\


\underline{Bonusaufgabe 5:} (4 Punkte) \\
Sei $U \subset \CC$ ein (nicht-leeres) Gebiet und $f \colon U \to \CC$ eine holomorphe Funktion ohne Nullstellen. Zeigen Sie, dass die folgenden zwei Aussagen äquivalent sind:
\begin{enumerate}[label=(\theenumi),ref=(\theenumi)]
	\item Es existiert eine holomorphe Funktion $g \colon U \to \CC$ mit $f(z) = e^{g(z)}$ für alle $z \in U$.
	\item Die Funktion $f'/f$ besitzt eine Stammfunktion auf $U$.
\end{enumerate}

\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 03.11.2023 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




