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%  Tutte's 8-cage


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\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 3}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 1:} (2+3 Punkte) \\
Für $z_0 \in \CC$ und $r > 0$ sei $\partial B_r(z_0) = \{z \in \CC ~ | ~ |z-z_0| = r\}$ der Rand des Kreises mit Mittelpunkt $z_0$ und Radius $r$, wie üblich entgegen dem Uhrzeigersinn parametrisiert.
Berechnen Sie die folgenden Integrale:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $$\int_{\partial B_2(1)} \frac{e^z \cos(z)}{z(z+4i)} \mud z,$$
	\item[(b)] $$\int_{\partial B_r(0)} (z-a)^m(z-b)^n \mud z,$$ wobei $a,b \in \CC$ mit $|a| < r < |b|$ und $m,n \in \ZZ.$
\end{enumerate}

\underline{Aufgabe 2:} (2+2+2 Punkte)
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Schreiben Sie $$f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC, \qquad  f(z) = \frac1{z^2}$$ als Potenzreihe mit Entwicklungspunkt $i$, bestimmen Sie den Konvergenzradius und lesen Sie $f^{(2023)}(i)$ ab.
	\item[(b)] Finden Sie jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihe von
	$$f \colon \CC \to \CC, \qquad f(z) = \frac1{1+z^2}$$
	im Punkt $a$ für
	\begin{center}
		(i) $a = 0$, \qquad (ii) $a = 1$, \qquad (iii) $a = \frac{i}{2}$,
	\end{center}
ohne die Potenzreihe konkret zu berechnen.
	\item[(c)] Sei $B_1(0) = \{z \in \CC ~ | ~ |z| < 1\}$. Gibt es eine holomorphe Funktion $f \colon B_1(0) \to \CC$ mit
	\begin{align*}
		f^{(n)}(0) = n^n 
	\end{align*}
	für alle $n \geq 1$ und $f(0) = 1$? Falls ja, geben Sie diese an.
\end{enumerate}

\underline{Aufgabe 3:} (4 Punkte) \\
Sei $f \colon \CC \to \CC$ holomorph. Für alle $z \in \CC$ mit $|z| \geq 2023$ gelte 
	\begin{align*}
		|f^{(4)}(z)| \leq 42 + e^{-|z|^2}.
	\end{align*}
	Zeigen Sie, dass $f$ ein Polynom vom Grad $\leq 4$ ist. \\

\vspace{1cm}
\begin{center}
	-- bitte wenden --
\end{center}
\newpage 

\underline{Bonusaufgabe 4:} (5 Punkte) \\
Es seien $g,h \colon \CC \to \CC$ reell stetig differenzierbar. Weiterhin gelte
\begin{align*}
	\frac{\partial g}{\partial \overline{z}} = 	\frac{\partial h}{\partial z}.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass ein reell differenzierbares $f \colon \CC \to \CC$ mit
\begin{align*}
\frac{\partial f}{\partial z} = g, \qquad 	\frac{\partial f}{\partial \overline{z}} = h
\end{align*}
existiert. \\

 \bigskip
\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 10.11.2023 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




