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%  Tutte's 8-cage


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\parindent=0pt
\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 4}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}


\underline{Aufgabe 1:} (1+1+3 Punkte)
\begin{enumerate}[label=(\theenumi),ref=(\theenumi)]
	\item[(a)] Zeigen Sie die Existenz einer holomorphen Funktion $f \colon \CC \setminus \{-1\} \to \CC$ mit der Eigenschaft, dass für alle $n \in \ZZ_{>0}$ gilt:
	\begin{align*}
		f\left(\frac1n\right) = \frac{n-1}{n+1}.
	\end{align*}
	\item[(b)] Zeigen Sie, dass das $f$ aus (a) eindeutig ist.
	\item[(c)] Geben Sie zwei verschiedene holomorphe Funktionen $f_1, f_2 \colon \CC \setminus \{0,-1\} \to \CC$ an, die 
	\begin{align*}
		f_j\left(\frac1n\right) = \frac{n-1}{n+1}, \qquad j = 1,2
	\end{align*}
	für alle $n \in \ZZ_{>0}$ erfüllen.
\end{enumerate}
\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 2:} (1+1+1 Punkte) \\
Bestimmen Sie jeweils die Laurent-Entwicklungen der folgenden holomorphen Funktionen $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ im Kreisring $A_{0,\infty}(0)$:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $$f(z) = \exp\left(\frac1z\right),$$
	\item[(b)] $$f(z) = \frac{1}{\exp z},$$
	\item[(c)] $$f(z) = \frac{\sin(z^2)}{z^3}.$$
	\end{enumerate}

%\underline{Aufgabe 2:} (3 Punkte) \\
%Bestimmen Sie die Laurent-Entwicklung der Funktion
%\begin{align*}
%	f(z) = \frac{1}{z(z-1)}
%\end{align*}
%auf dem Kreisring $A_{0,1}(0)$, indem Sie die Laurent-Koeffizienten händisch mit Hilfe von Korollar 3.4 berechnen. Hat $f$ eine Stammfunktion auf $A_{0,1}(0)$? \\
%\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 3:} (2+(2+2+2)+1 Punkte) \\
Sei
\begin{align*}
	f \colon \CC \setminus \{1,2\} \to \CC, \qquad f(z) = \frac{1}{(z-1)(z-2)}.
\end{align*}

\begin{enumerate}
\item[(a)] Bestimmen Sie die Partialbruchzerlegung von $f$.
\item[(b)] Nutzen Sie jeweils (a), um die Laurent-Entwicklung von $f$ auf dem Kreisring $A_{r,R}(0)$ zu bestimmen, wobei:
\begin{enumerate}
	\item[(i)] $r = 0$ und $R = 1$,
	\item[(ii)] $r = 1$ und $R = 2$,
	\item[(iii)] $r = 2$ und $R = \infty$.
\end{enumerate}
\item[(c)] Besitzt $f$ jeweils eine Stammfunktion auf $A_{r,R}(0)$ in den Fällen (i) -- (iii) aus (b)? Begründen Sie.
\end{enumerate}
 \vspace{1cm}
\begin{center}
	-- bitte wenden --
\end{center}

\newpage 

\underline{Bonusaufgabe 4:} (4 Punkte) \\
Sei $U \subset \CC$ ein nicht-leeres Gebiet, das unter komplexer Konjugation abgeschlossen ist, das heißt
\begin{align*}
	U = \{ \overline{z} ~ | ~ z \in U\}.
\end{align*} 
Zeigen Sie, dass für alle holomorphen Funktionen $f \colon U \to \CC$ gilt:
\begin{align*}
	f(U \cap \RR) \subset \RR \iff \forall z \in U \colon \quad f(\overline{z}) = \overline{f(z)}.
\end{align*}
\emph{Hinweis:} In Blatt 2, Aufgabe 1 (c) wurde gezeigt, dass $z \mapsto \overline{f(\overline{z})}$ holomorph ist. \\

\vspace{2cm}
\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 17.11.2023 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




