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%  Tutte's 8-cage


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\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 5}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}


\underline{Aufgabe 1:} (1+1+1+1 Punkte) \\
Geben Sie für die folgenden Funktionen jeweils an, ob in $0$ eine isolierte Singularität vorliegt. Falls ja, so geben Sie den Typ an (hebbar, Polstelle $n$-ter Ordnung, wesentliche Singuarltität).
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $$f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC, \qquad f(z) := \frac{\sin(z)}{z^3}(1+\exp z),$$
	\item[(b)] $$f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC, \qquad f(z) := \frac{1}{z}(1-\exp z),$$
	\item[(c)] $$f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC, \qquad f(z) :=  \sin \left(\frac{1-z}{z}\right),$$
		\item[(d)] $$\log \colon \CC \setminus (-\infty,0] \to \CC.$$
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 2:} (1+3 Punkte) \\
Wir betrachten die Potenzreihe
\begin{align*}
	f(z) := \sum_{n=0}^\infty z^{n!}.
\end{align*}
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Bestimmen Sie den Konvergenzradius $\rho$ der Reihe.
	\item[(b)] Sei $\gamma \colon [0,1] \to \CC$ ein Weg mit $\gamma(0) = 0$ und dessen Endpunkt strikt außerhalb des Konvergenzkreises liegt, d.h. $|\gamma(1)| > \rho$. Zeigen Sie, dass $f$ keine analytische Fortsetzung entlang $\gamma$ besitzt. \\
	
	\emph{Hinweis:} Was ist $\lim\limits_{z \to \rho, z \in \RR} f(z)$? Betrachten Sie $f(z \exp(2\pi i r))$ für $r \in \QQ$ und $z \to \rho$ reell.
\end{enumerate}

\vspace{5cm}
\begin{center}
	-- bitte wenden --
\end{center}

\newpage

\underline{Aufgabe 3:} (2+1+1+1+2 Punkte) \\
Sei $f$ eine meromorphe Funktion auf $\CC$. Wir sagen, dass $f$ eine \emph{isolierte Singularität im Unendlichen} besitzt, falls eine offene Kreisscheibe $U	\subset \CC$ gibt, sodass $f|_{\CC \setminus U}$ holomorph ist. Gilt dies, so definieren wir eine neue Funktion
\begin{align*}
	g(z) := f\left(\frac1z\right).
\end{align*}

\begin{enumerate}
	\item[(a)] Zeigen Sie, dass $g$ meromorph auf $\CC \setminus \{0\}$ ist.
	\item[(b)] Zeigen Sie, dass $g$ in $0$ eine isolierte Singularität besitzt.
\end{enumerate}
Ist die Singularität von $g$ im Nullpunkt hebbar/ein Pol $n$-ter Ordnung/wesentlich, so sagen wir, dass $f$ \emph{im Unendlichen} eine hebbare Singularität/einen Pol $n$-ter Ordnung/eine wesentliche Singularität hat.
\begin{enumerate}
	\item[(c)] Zeigen Sie, dass die Exponentialfunktion $\exp \colon \CC \to \CC$ eine wesentliche Singularität im Unendlichen besitzt.
	\item[(d)] Sei $f$ ein Polynom des Grades $n \geq 1$. Zeigen Sie, dass $f$ eine Polstelle $n$-ter Ordnung im Unendlichen hat. Geben Sie die Laurent-Entwicklung dieser Polstelle an.
	\item[(e)] Zeigen Sie: Ist $f$ eine ganze Funktion, die im Unendlichen eine hebbare Singularität besitzt, so ist $f$ konstant.
\end{enumerate}
\vspace{1cm}

%Es sei $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ eine holomorphe Funktion.
%\begin{enumerate}
%	\item[(a)] Zeigen Sie, dass für das Residuum der Ableitung $f'$ im Nullpunkt $\res_0(f') = 0$ gilt.
%	\item[(b)] Zeigen Sie: Wenn $f$ unendlich viele Nullstellen in $B_1(0) \setminus \{0\}$ besitzt, dann ist die Singularität von $f$ in $z = 0$ wesentlich´.
%\end{enumerate}
% Es sei $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion, die unendlich viele Nullstellen in $B_1(0) \setminus \{0\}$ besitzt. Zeigen Sie, dass die Singularität von $f$ in $z = 0$ wesentlich ist.


\underline{Bonusaufgabe 4:} (4 Punkte) \\
Sei $U \subset \CC$ ein nicht-leeres Gebiet und 
\begin{align*}
	\mathcal M(U) := \{ f ~ | ~ f \text{ ist meromorph auf } U\}.
\end{align*}
Zeigen Sie, dass $\mathcal M(U)$ ein Körper ist. Gilt die Aussage auch, wenn $U$ nicht zusammenhängend ist?


\vspace{2cm}
\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 24.11.2023 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




