\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\headsep}{-4.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-1cm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{color}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage[paper = a4paper, left = 3cm, right = 3cm, headsep = 6mm, footskip = 10mm,
top = 10mm, bottom = 30mm, footnotesep=5mm, headheight = 2cm]{geometry}
\usepackage[all]{xy}
%\usepackage{soul}
\usepackage{hyperref}

\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}
\newcommand{\LL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\DD}{\mathbb{D}}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\newcommand{\sR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\sP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\sL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\sI}{\mathcal{I}}
\newcommand\Oh{{\mathcal O}}
\newcommand\p{{\mathfrak p}}
\newcommand\fP{{\mathfrak P}}
\newcommand{\la}{\lambda}

\DeclareMathOperator{\res}{res}
\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
\DeclareMathOperator{\Rea}{Re}
\newcommand{\mud}{\,\mathrm{d}}

\def\violet {\color[rgb]{1,.4,.7}}
\def\red{\color[rgb]{1,0,0}}
\def\verde{\color[rgb]{.2,.5,.1}}
\def\blu{\color[rgb]{0,0,1}}
\def\gris{\color[rgb]{.4,0.4,0.4}}
\def\bla{\color[rgb]{0,0,0}}
\def\ora{\color[rgb]{1,.6,0}}
\def\gre{\color[rgb]{.4,.4,.4}}
\def\colr{\color[rgb]{.4,0,0}}
\def\colb{\color[rgb]{0,0,.4}}
\pagestyle{empty}
%  Tutte's 8-cage


\renewcommand\labelenumi{(\theenumi)} %%%%% enumerate style


\parindent=0pt
\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 6}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 1:} (3+3 Punkte) \\
Sei $U = \{z \in \CC ~ | ~ \Rea(z) > 0\}$. Wir definieren
\begin{align*}
	f \colon U \to \CC, \qquad r \cdot \exp(i \varphi) \mapsto \sqrt{r} \cdot \exp\left(\frac{i\varphi}{2}\right),
\end{align*}
wobei $r > 0$ und $\varphi \in [0,\frac{\pi}{2}) \cup (\frac{3\pi}{2}, 2\pi)$.

\begin{enumerate}
	\item[(a)] Zeigen Sie, dass $f$ holomorph ist mit $f(z)^2 = z$ für alle $z \in U$, und dass für $x \in U \cap \RR$ gilt, dass $f(x) = \sqrt{x}$.
	\item[(b)] Seien
	\begin{align*}
		&\gamma_+ \colon [0,1] \to \CC, \qquad t \mapsto \exp(\pi i t), \\
		&\gamma_- \colon [0,1] \to \CC, \qquad t \mapsto \exp(-\pi i t).
	\end{align*}
	Bestimmen Sie jeweils die analytischen Fortsetzungen von $f$ entlang $\gamma_+$ und $\gamma_-$. Verwenden Sie hierbei \underline{nicht} die Resultate des Unterkapitels \glqq Logarithmus und Wurzeln\grqq~ aus dem Skript.
\end{enumerate}

%Sei $U \subset \CC$ ein Gebiet und $f \colon U \to \CC$ eine holomorphe Funktion mit $f'(z) \neq 0$ für alle $z \in U$. Sei $\gamma \colon [0,1] \to V := f(U)$ ein Weg und $g$ eine in einer Umgebung von $\gamma(0)$ definierte Umkehrfunktion von $f$. Zeigen Sie, dass $g$ eine analytische Fortsetzung entlang von $\gamma$ besitzt.

\vspace{1.5cm}

\underline{Aufgabe 2:} (4 Punkte) \\
Sei $X$ ein wegzusammenhängender topologischer Raum und $x_0 \in X$ so, dass jeder geschlossene Weg in $X$ mit Anfangs- und Endpunkt $x_0$ nullhomotop ist, das heißt, $X$ ist einfach zusammenhängend.\\ Sei $\gamma \colon [0,1] \to X$ ein Weg. Zeigen Sie, dass $\gamma$ nullhomotop ist. Folgern Sie, dass einfacher Zusammenhang unabhängig von der Wahl von $x_0$ ist. \\

\vspace{1.5cm}


\underline{Aufgabe 3:} (4 Punkte) \\
Sei $U \subset \CC$ offen und $z_0, z_1 \in U$. Man sagt, dass $z_0$ und $z_1$ in derselben \emph{Wegzusammenhangskomponente} von $U$ liegen, wenn es einen Weg $\alpha \colon [0,1] \to U$ mit $\alpha(0) = z_0$ und $\alpha(1) = z_1$ gibt. \\
Sei nun $\gamma \colon [0,1] \to \CC$ ein geschlossener Weg und $U := \CC \setminus \gamma([0,1])$. Für $z_0 \in U$ sei 
\begin{align*}
n(z_0) := \frac{1}{2 \pi i} \int_\gamma \frac{1}{z-z_0} \mud z
\end{align*}
die Umlaufzahl von $\gamma$ um $z_0$. Zeigen Sie, dass $n(z_1) = n(z_0)$, wenn $z_0$ und $z_1$ in derselben Wegzusammenhangskomponente von $U$ liegen. \\
\vspace{6cm}
\begin{center}
	-- bitte wenden --
\end{center}
\newpage 

\underline{Aufgabe 4:} (3 Punkte) \\
Das Bild des Weges $\gamma$ sei wie folgt gegeben:
\begin{center}
	\includegraphics{Path.png}
\end{center}
Bestimmen Sie die Umlaufzahl von $\gamma$ für sämtliche (Weg-)Zusammenhangskomponenten von $\CC \setminus \Bild(\gamma)$. Dabei soll angenommen werden, dass $\gamma$ den gezeichneten Weg genau einmal in der angegebenen Richtung ohne Knicke (d.h. ohne an Kreuzungen abzubiegen) durchläuft. (Bei dieser Teilaufgabe geht es lediglich um die Intuition.
Sie müssen keinen Beweis oder irgendwelche Rechnungen anfertigen.)


%Es sei $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ eine holomorphe Funktion.
%\begin{enumerate}
%	\item[(a)] Zeigen Sie, dass für das Residuum der Ableitung $f'$ im Nullpunkt $\res_0(f') = 0$ gilt.
%	\item[(b)] Zeigen Sie: Wenn $f$ unendlich viele Nullstellen in $B_1(0) \setminus \{0\}$ besitzt, dann ist die Singularität von $f$ in $z = 0$ wesentlich´.
%\end{enumerate}
% Es sei $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ eine nicht-konstante holomorphe Funktion, die unendlich viele Nullstellen in $B_1(0) \setminus \{0\}$ besitzt. Zeigen Sie, dass die Singularität von $f$ in $z = 0$ wesentlich ist.

\bigskip


\vspace{2cm}
\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 01.12.2023 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




