\documentclass[a4paper,11pt]{article}

\addtolength{\textwidth}{2cm}
\addtolength{\headsep}{-4.5cm}
\addtolength{\hoffset}{-1cm}
\usepackage{amsmath}
\usepackage{amssymb}
\usepackage[ansinew]{inputenc}
\usepackage[ngerman]{babel}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{color}
\usepackage{enumitem}
\usepackage{graphicx}

\usepackage[paper = a4paper, left = 3cm, right = 3cm, headsep = 6mm, footskip = 10mm,
top = 10mm, bottom = 30mm, footnotesep=5mm, headheight = 2cm]{geometry}
\usepackage[all]{xy}
%\usepackage{soul}
\usepackage{hyperref}

\newcommand{\HH}{\mathbb{H}}
\newcommand{\PP}{\mathbb{P}}
\newcommand{\ZZ}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\QQ}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\RR}{\mathbb{R}}
\newcommand{\CC}{\mathbb{C}}
\newcommand{\FF}{\mathbb{F}}
\newcommand{\LL}{\mathbb{L}}
\newcommand{\DD}{\mathbb{D}}
\newcommand{\A}{\mathbb{A}}
\newcommand{\sR}{\mathcal{R}}
\newcommand{\sP}{\mathcal{P}}
\newcommand{\sL}{\mathcal{L}}
\newcommand{\sI}{\mathcal{I}}
\newcommand\Oh{{\mathcal O}}
\newcommand\p{{\mathfrak p}}
\newcommand\fP{{\mathfrak P}}
\newcommand{\la}{\lambda}

\DeclareMathOperator{\res}{res}
\DeclareMathOperator{\Bild}{Bild}
\DeclareMathOperator{\Rea}{Re}
\newcommand{\mud}{\,\mathrm{d}}

\def\violet {\color[rgb]{1,.4,.7}}
\def\red{\color[rgb]{1,0,0}}
\def\verde{\color[rgb]{.2,.5,.1}}
\def\blu{\color[rgb]{0,0,1}}
\def\gris{\color[rgb]{.4,0.4,0.4}}
\def\bla{\color[rgb]{0,0,0}}
\def\ora{\color[rgb]{1,.6,0}}
\def\gre{\color[rgb]{.4,.4,.4}}
\def\colr{\color[rgb]{.4,0,0}}
\def\colb{\color[rgb]{0,0,.4}}
\pagestyle{empty}
%  Tutte's 8-cage


\renewcommand\labelenumi{(\theenumi)} %%%%% enumerate style


\parindent=0pt
\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 8}}}
\bigskip

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 1:} (4 Punkte) \\
Folgern Sie den Satz über die Gebietstreue (Satz 3.11) aus dem Satz über die Blätterzahl (Korollar 5.17).

%Sei $U \subset \CC$ ein Gebiet und $f \colon U \to \CC$ eine holomorphe Funktion mit $f'(z) \neq 0$ für alle $z \in U$. Sei $\gamma \colon [0,1] \to V := f(U)$ ein Weg und $g$ eine in einer Umgebung von $\gamma(0)$ definierte Umkehrfunktion von $f$. Zeigen Sie, dass $g$ eine analytische Fortsetzung entlang von $\gamma$ besitzt.


\vspace{1cm}


\underline{Aufgabe 2:} (4 Punkte) \\
Wir definieren Kurven $\gamma_a, \gamma_b, \gamma_c \colon [0,1] \to \CC$ durch
	\begin{align*}
		\gamma_a(t) := \exp(2\pi i t), \qquad \gamma_b(t) := -5 \exp(8\pi i t), \qquad \gamma_c(t) := 2 - \exp(2\pi i t).
	\end{align*}
	Fertigen Sie eine Skizze an und berechnen Sie die Umlaufzahl des Zykels
	\begin{align*}
		\gamma_a - 2\gamma_b + 3\gamma_c
	\end{align*}
	jeweils um
	\begin{enumerate}
		\item[(i)] $z = 0$,
		\item[(ii)] $z = 2$.
	\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\underline{Aufgabe 3:} (1 Punkt) \\
Geben Sie ein Beispiel für zwei Zykeln in der Menge $\CC \setminus \{0,1\}$ an, die nicht homolog sind.

\vspace{0.5cm}

\underline{Aufgabe 4:} (1+5 Punkte) \\
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Sei $U \subset \CC$ offen und $f_1, f_2 \colon U \to \CC$ holomorph und nullstellenfrei. Zeigen Sie:
	\begin{align*}
	\frac{(f_1f_2)'}{f_1f_2} = \frac{f_1'}{f_1} + \frac{f_2'}{f_2}.
	\end{align*}
	Wir nennen $f_j'/f_j$ die \emph{logarithmische Ableitung} von $f_j$.
	
	\item[(b)] Seien $z_1, \ldots, z_r \in \CC$ paarweise verschieden und $U \subset \CC \setminus \{ z_1, \ldots, z_r\}$ ein Gebiet. Seien außerdem $k_1, \ldots, k_r \in \ZZ$ und
	\begin{align*}
	f \colon U \to \CC, \qquad f(z) := (z-z_1)^{k_1} \cdot \ldots \cdot (z-z_r)^{k_r}.
	\end{align*}
	Zeigen Sie, dass die folgenden beiden Aussagen äquivalent sind:
	\begin{enumerate}[label=(\theenumi),ref=(\theenumi)]
		\item[(1)] Die holomorphe Funktion $f$ besitzt einen Logarithmus auf $U$ (vgl. Blatt 7, Aufgabe 4).
		\item[(2)] Für alle geschlossenen Kurven $\gamma$ in $U$ gilt
		\begin{align*}
		k_1 \cdot n_\gamma(z_1) + \ldots + k_r \cdot n_\gamma(z_r) = 0,
		\end{align*}
		wobei $n_\gamma(z_j)$ die Umlaufzahl von $\gamma$ um $z_j$ bezeichnet.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\begin{center}
	-- bitte wenden --
\end{center}
\newpage 

\vspace{1.5cm}


\bigskip


\vspace{2cm}
\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 15.12.2023 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




