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%  Tutte's 8-cage

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\parindent=0pt
\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Blatt 10}}}
\bigskip


\underline{Aufgabe 1:} (5+2 Punkte)
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Die in der Vorlesung diskutierte Version des Satzes von Rouch\'e hat den Nachteil, dass die darin vorkommende Bedingung ``$|f(z) - g(z)| < |f(z)|$ für alle $|z-z_0| = R$'' nicht symmetrisch in $f$ und $g$ ist. Zeigen Sie die folgende symmetrische Variante des Satzes von Rouch\'e: \\
	Es sei $U \subset \CC$ offen, $f, g \colon U \to \CC$ holomorph und $K \subset U$ eine abgeschlossene Kreisscheibe. Es gelte:
	\begin{align*}
	\forall z \in \partial K \colon \quad |f(z) - g(z)| < |f(z)| + |g(z)|.
	\end{align*}
	Dann haben $f$ und $g$ dieselbe Anzahl an Nullstellen in $K$.
	\item[(b)] Folgern Sie den in der Vorlesung diskutierten Satz von Rouch\'e aus der symmetrischen Version in Teilaufgabe (a).
\end{enumerate}


\vspace{2cm}

\underline{Aufgabe 2:} (3+2 Punkte) \\
Es sei \[P(z)=2024z^{2024}+\sum_{k=0}^{2023} a_k z^k,\] wobei $a_k\in \CC$, $|a_k|<1$ f\"ur alle $k=0,\ldots, 2023$ gelte.
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von $P$ in der offenen Einheitskreisscheibe $B_1(0)$ (mit Vielfachheiten gezählt).
	\item[(b)] Zeigen Sie
	\[\exp\left(\frac 1{253} \int_{\partial B_1(0)} \dfrac{P'(z)}{P(z)} \mud z \right)=1\,.\]
	Hierbei bezeichnet $\partial B_1(0)$ die einmal im mathematisch positiven Sinne durchlaufene Einheitskreislinie.
\end{enumerate}

\newpage

\underline{Aufgabe 3:} (2+2+2 Punkte) \\
Im Residuensatz hat man 
\begin{itemize}
	\item ein Gebiet $G$,
	\item eine Funktion $f$ mit isolierten Singularitäten in $G$, das heißt es gibt eine abgeschlossene Teilmenge $S \subset G$, sodass $f$ auf $G \setminus S$ holomorph ist,
	\item und einen Zykel $\gamma$ in $G \setminus S$, der keinen Punkt außerhalb von $G$ umläuft.
\end{itemize}
Überprüfen Sie die Voraussetzungen des Residuensatzes in den folgenden Beispielen:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $G = B_1(0) \setminus \{0\}$, $S = \left\{ \frac{1}{k\pi} ~ | ~ k \in \mathbb N\right\}$, $$f(z) = \sin\left(\frac1z\right)$$ und $\gamma$ die im mathematisch positiven Sinne durchlaufene Einheitskreislinie.
	\item[(b)] $G = B_{2}(0)$, $S = \{-1, 0, 1\}$, $$f(z) = \frac{1}{z^3 \sin\left(\frac{z}{\pi}\right)}$$ und $\gamma$ der folgende Weg:
	\begin{center}
	 
	\begin{tikzpicture}
	
	\draw[decoration={markings, mark=at position 0.25 with {\arrow{>}}},postaction={decorate},decoration={markings, mark=at position 0.75 with {\arrow{>}}},postaction={decorate}]  
	(-1,0) to[out=90, in=125, looseness=2] (1,0) to[out=-55, in=-90, looseness=2] (2.5,0);
	
	\draw[decoration={markings, mark=at position 0.25 with {\arrow{<}}},postaction={decorate},decoration={markings, mark=at position 0.75 with {\arrow{<}}},postaction={decorate}] 
	(-1,0) to[out=-90, in=-125, looseness=2] (1,0) to[out=55, in=90, looseness=2] (2.5,0);
	
	\draw[-stealth] (0,-2) -- (0,4);
	\draw[-stealth] (-2,0) -- (4,0);
	\draw[-] (1,-0.1) -- (1,0.1);
	\path (1,-0.3) node [black]                    {1};
	
	\draw[-] (-0.1,1) -- (0.1,1);
	\path (0.3,1) node [black]                    {$i$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
	\item[(c)] $G = \CC$, $S = \{i,2i\}$, 
	$$f(z) = \frac{\exp(z)}{(z-i)^3 (z-2i)^4}$$
	und $\gamma = \gamma_a -4 \gamma_b + \gamma_c$, wobei
	\begin{align*}
		&\gamma_a \colon [0,1] \to \CC, \qquad \gamma_a(t) = 3-6t, \\
		&\gamma_b \colon [0,1] \to \CC, \qquad \gamma_b(t) = 5 \exp(2\pi i t), \\
		&\gamma_c \colon [0,1] \to \CC, \qquad \gamma_c(t) =  3\exp(\pi i t).
	\end{align*}
\end{enumerate}
\vspace{1cm}


\bigskip


\vspace{0.5cm}
\textbf{Abgabedetails:}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 12.01.2024 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.
	
\end{itemize}

\end{document}




