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%  Tutte's 8-cage


\renewcommand\labelenumi{(\theenumi)} %%%%% enumerate style


\parindent=0pt
\begin{document}
\def\3{\ss}
\vskip 5cm
Prof. Dr. Annette Huber-Klawitter \hfill WS 2023/24 \\
Dr. Andreas Demleitner  \\

\hrule

\begin{center}
	\textbf{\"Ubungsaufgaben zur Vorlesung \glqq Funktionentheorie\grqq}
\end{center}
\medskip
\centerline{\textbf{\underline{Weihnachtsblatt}}}
\bigskip

Die Aufgaben auf diesem Zettel sind zum Üben während der Weihnachtspause gedacht, sie dienen der freiwilligen Selbstkontrolle. Die Aufgaben müssen
nicht bearbeitet oder abgegeben werden -- jedoch können Sie durch diesen Zettel maximal 16 Bonuspunkte erhalten. \\

\emph{Damit unsere Tutoren nicht überlastet werden:}
\begin{itemize}
	\item {\red Bitte das Blatt nur abgeben, wenn Sie Feedback zu Ihrer Lösung oder Punkte benötigen.} (Wenn Sie davon nicht betroffen sind und dennoch an einer bestimmten Aufgabe interessiert sind, sprechen Sie Andreas Demleitner an.)
	\item Unsere Tutoren korrigieren nicht alle abgegebenen Aufgaben, sondern nur solange, bis Sie maximal 16 Punkte erreicht haben.
\end{itemize}

\emph{Bemerkung zum Schwierigkeitsgrad:} 
\begin{itemize}
	\item Der erste Abschnitt (\glqq Was alle wissen sollten\grqq) enthält größtenteils Reproduktionsaufgaben.
	\item Der zweite Abschnitt (\glqq Was alle können sollten\grqq) enthält leichte Anwendungen von Ergebnissen der Vorlesungen.
	\item Im dritten Abschnitt finden Sie eine Reihe \glqq normaler\grqq\ Aufgaben.
	\item Am Schluss findet sich eine Sammlung von anspruchsvolleren Aufgaben, die teilweise über den Stoff und die Anforderungen der Vorlesung hinausgehen.
\end{itemize}

\textbf{Wir wünschen Ihnen frohe Weihnachten und ein gesundes, erfolgreiches neues Jahr!}

\vspace{0.5cm}

\begin{center}
	\Large\textbf{Was alle wissen sollten} \normalsize
\end{center}


Bei den Aufgaben dieser Kategorie -- die unbepunktet sind -- handelt es sich größtenteils um Reproduktionsaufgaben. Die Bearbeitung wird empfohlen. \\


\begin{aufgabe} \ \\
	Alle Kurztests sind nun nochmals für die Bearbeitung freigeschaltet. Bearbeiten Sie die Kurztests noch einmal.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe}  \ \\
Formulieren Sie die Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen für eine Funktion $f \colon \CC \to \CC$.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
Wie ist das Wegintegral einer stetigen Funktion über einen stetig differenzierbaren Weg definiert?
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
Formulieren Sie die Cauchy-Integralformel. Drücken Sie die Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung einer holomorphen Funktion mit Hilfe der Cauchy-Integralformel aus.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
Sei $f$ eine ganze Funktion und $a \in \CC$. Sei $r \in \RR$ so, dass $r \neq |a|$. Geben Sie den Wert des Integrals
$$\int_{\partial B_r(0)} \frac{f(z)}{z-a} \mud z$$
in Abhängigkeit von $a$ an. In Ihrer finalen Antwort sollten keine Umlaufzahlen mehr vorkommen.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
Formulieren Sie den Identitätssatz.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
Definieren Sie die Begriffe \glqq isolierte Singularität\grqq, \glqq hebbare Singularität\grqq, \glqq Polstelle $n$-ter Ordnung\grqq~ sowie \glqq wesentliche Singularität\grqq. Erklären Sie außerdem den Zusammenhang zwischen der Laurent-Entwicklung einer Funktion und isolierten Singularitäten.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
Definieren Sie die Umlaufzahl eines Zykels.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \ \\
	Formulieren Sie den Residuensatz und erklären Sie, warum er eine Verallgemeinerung der Umlaufzahlversion des Integralsatzes sowie der Cauchy-Integralformel darstellt.
\end{aufgabe}

\begin{center}
	\Large\textbf{Was alle können sollten}  \normalsize
\end{center}

\begin{aufgabe} (1 Punkt) \\
	Sei $U \subset \CC$ ein Gebiet und $f \colon U \to \CC$ holomorph. Zeigen Sie mit Hilfe der Cauchy-Riemann-Differentialgleichungen: Ist $z \mapsto \overline{f(z)}$ holomorph, so ist $f$ konstant.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2 Punkt) \\
Bestimmen Sie alle Punkte, in denen die Abbildung $f \colon \CC \to \CC$, $f(z) = \overline{z}$ komplex differenzierbar ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (1+1+2 Punkte) \\
Geben Sie -- mit einer kurzen Begründung -- jeweils den Konvergenzradius der Potenzreihe von $f$ um $z_0$ an, ohne die Potenzreihe konkret zu berechnen.
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $f(z) = \exp(\sin(z^2+2024z)) + 1$ und $z_0 = 42$.
	\item[(b)] $f(z) = \frac{1}{z} - \frac{1}{z-1}$ und $z_0 = \frac13$.
	\item[(c)] $f(z) = \exp\left(\frac{\sin z}{z}\right)$ und $z_0 = 1$.
\end{enumerate} 
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (1 Punkt) \\
Geben Sie die Laurent-Entwicklung von
$$f(z) := \sin\left(\frac1z\right) + \frac1{1-z}$$
auf $A_{0,1}(0) = \{z \in \CC ~ | ~ 0 < |z| < 1\}$ an.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (1 Punkt) \\
	Bestimmen Sie $\sup\{|\sin(z)| ~ | ~ z \in \CC\}$, indem Sie einen geeigneten Satz aus der Funktionentheorie anwenden, also insbesondere ohne die Funktionswerte von $z \mapsto |\sin(z)|$ zu betrachten.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (1 Punkt) \\
Sei $\gamma$ der Weg, der das Rechteck mit den Eckpunkten $-4-i, 5-i, 5+2i, -4+2i$ in der angegebenen Reihenfolge genau einmal durchläuft. Berechnen Sie
\begin{align*}
	\int_\gamma \frac{z^2 + 1}{z\cdot (z+5) \cdot (z-i)^2} \mud z.
\end{align*}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (1 Punkt) \\
	Ist die Funktion $$z \mapsto \sin\left(\frac1{z^3}\right)$$ meromorph auf $\CC$? Begründen Sie.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2 Punkte) \\
Sei $f(z) := \frac1z$. Bestimmen Sie $\res_a(f)$ für alle $a \in \CC$.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2 Punkte) \\
Gegeben sei der Zykel
\begin{align*}
	Z := \partial B_1(0) - \partial B_1(i),
\end{align*}
wobei Kreiswege wie üblich entgegen dem Uhrzeigersinn durchlaufen werden. Bestimmen Sie die Umlaufzahl von $Z$ um alle Punkte, die nicht von $Z$ getroffen werden.
\end{aufgabe}
 
\begin{center}
	\Large\textbf{Normale Aufgaben}\normalsize
\end{center}

\begin{aufgabe} (2 Punkte) \\
Gegeben sei die Funktion $f \colon \CC \to \CC$, $f(z) = z^2 \overline{z}$. Bestimmen Sie alle Punkte, in denen $f$ komplex differenzierbar ist.
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe} (2 Punkte) \\
Sei $D \subset \CC$ das offene Dreiecksgebiet, das durch die Eckpunkte $0$, $1$ und $1+i$ aufgespannt wird. Sei ferner $\gamma$ ein Weg, der den Rand des Dreiecks $D$ genau einmal gegen den Uhrzeigersinn durchläuft. Berechnen Sie
$$\int_\gamma |z|^2 \mud z.$$
\end{aufgabe}



\begin{aufgabe} (3 Punkte) \\
Finden Sie die Reihenentwicklung der Funktion
\begin{align*}
	f(z) = \frac{1}{z}
\end{align*}
um $i$. Was ist der Konvergenzradius der Reihe?
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2+2+2 Punkte) \\
	Gegeben sei die Fibonacci-Folge $(f_n)_{n \geq 0}$, d.h. $f_0 = f_1 = 1$ und $$f_n = f_{n-1} + f_{n-2} \qquad \text{ für } \qquad n \geq 2.$$ Sei
	\begin{align*}
	F(z) := \sum_{n=0}^\infty f_n z^n
	\end{align*}
	und $R \in \RR_{\geq 0} \cup \{\infty\}$ der Konvergenzradius der obigen Potenzreihe.
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] Zeigen Sie mit Hilfe des Quotientenkriteriums, dass $R \geq \frac12$. 
		\item[(b)] Zeigen Sie, dass $(1-z-z^2)F(z) = 1$ für alle $z \in \CC$ mit $|z| < R$.
		\item[(c)] Bestimmen Sie $R$.
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}




\begin{aufgabe} (je 1 Punkt) \\
	Berechnen Sie $\int_\gamma f(z) \mud z$ für die angegebenen Funktionen $f$ und Wege $\gamma \colon [0,1] \to \CC$:
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] $f(z) = z^2$ und $\gamma(t) = r \exp(\pi i t)$ mit $r > 0$.
		\item[(b)] $f(z) = \overline{z}$ und $\gamma(t) = \frac1{t+1} + it^2$.
		\item[(c)] $f(z) = \sin(\Rea(z))$ und $\gamma(t) = t + i \sin(t)$.
		\item[(d)] $f(z) = z^{-n}$ für $n \in \mathbb N$ und $\gamma(t) = \exp(2\pi i t)$.
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe} (3 Punkte) \\
	Bestimmen Sie Lage und Typ aller isolierter Singularitäten der Funktion $f \colon G  \to \CC$ gegeben durch
	\begin{align*}
		f(z) = \frac{z}{z-2} \exp\left( \sin\left(\frac{z-1}{z^2-z}\right)  \right),
	\end{align*}
	wobei $G \subset \CC$ den maximal größten Definitionsbereich der Funktion bezeichnet.
\end{aufgabe}



%\begin{aufgabe} Es sei $r \in \RR$, $0 < r < 1$. Zeigen Sie, dass für alle hinreichend großen $n \in \mathbb N$ gilt:
%\begin{align*}
%	\int_{\partial B_r(0)} \frac{1}{1+2z+3z^2 + \ldots + nz^{n-1}} \mud z = 0.
%\end{align*}
%\emph{Hinweis:} Sie dürfen verwenden, dass die Reihe $\sum_{k=0}^\infty (k+1)z^k$ auf $\{ z \in \CC ~ | ~ |z| \leq r\}$ gleichmäßig gegen die Funktion $$g(z) := \frac1{(1-z)^2}$$
%konvergiert. \\
%\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2+2+2+2+2 Punkte) \\
 Entscheiden Sie, ob es Funktionen $f$ mit den jeweils angegebenen Eigenschaften gibt. Geben Sie im Falle der Existenz ein Beispiel an und begründen Sie kurz, warum Ihr Beispiel die geforderten Eigenschaften besitzt. Zeigen Sie andernfalls, dass es kein solches Beispiel geben kann.
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Eine holomorphe Funktion $f \colon \CC \to \CC$ mit $f(0) = 0$ und $|f(z)| = 2$ für alle $z \in \CC$ mit $|z| = 1$. 
	\item[(b)] Eine holomorphe Funktion $f \colon \CC \to \CC$ mit $f(0) = \pi^{42}$ und $|f(z)| = 2$ für alle $z \in \CC$ mit $|z| = 1$. (\emph{Hinweis:} Satz 3.12)
	\item[(c)] Eine holomorphe Funktion $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ mit einer Polstelle bei $z = 0$ so, dass $f$ keine Stammfunktion auf $\CC \setminus \{0\}$ besitzt.
	\item[(d)] Eine holomorphe Funktion $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ mit einer wesentlichen Singularität bei $z = 0$ so, dass $f$ keine Stammfunktion auf $\CC \setminus \{0\}$ besitzt.
	\item[(e)] Eine surjektive holomorphe Funktion $f \colon \CC \to B_1(0)$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} \label{aufg:doppelt-periodisch}(4 Punkte) \\
Eine Funktion $f$ auf $\CC$ heißt \emph{doppelt periodisch}, wenn es $\RR$-linear unabhängige $\omega_1, \omega_2 \in \CC$ mit
$$f(z) = f(z+\omega_1) = f(z + \omega_2) \qquad \text{ für alle } \quad z \in \CC.$$
Zeigen Sie: Ist $f$ eine ganze doppelt periodische Funktion, so ist $f$ konstant.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (3 Punkte) \\
Es seien $f,g \colon \CC \to \CC$ holomorphe Funktionen mit $g \circ f = 0$. Zeigen Sie: $g = 0$ oder $f$ ist konstant.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2+2+2 Punkte) \\
Beweisen Sie mit Hilfe des Identitätssatzes oder widerlegen Sie:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $\sin(z + \pi) = - \sin(z)$ für alle $z \in \CC$.
	\item[(b)] $\cos(z) = \Rea(\exp(iz))$ für alle $z \in \CC$.
	\item[(c)] $\cos(z+w) = \cos(z) \cos(w) - \sin(z) \sin(w)$ für alle $z,w \in \CC$.
\end{enumerate}
Sie dürfen hierbei dafür ausgehen, dass (a) und (b) jeweils für alle $z \in \RR$ und (c) für alle $z,w \in \RR$ gelten.
\end{aufgabe}

%%%%%% Klausur
%\begin{aufgabe} (3 Punkte) \\
 %Zeigen oder widerlegen Sie die folgende Aussage: Ist $f \colon \CC \setminus \ZZ \to \CC$ holomorph und beschränkt, so ist $f$ konstant.
%\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (3+3 Punkte) \\
Bestimmen Sie für jede der Singularitäten von $f$ in $\CC$ den Typ (bei Polen inkl. Polordnung) und berechnen Sie das Integral
$$\int_{\partial B_4(0)} f(z) \mud z$$
für
$$\text{(a) ~} f(z) = \frac{\sin(z)}{\exp(z) - \exp(\pi)}, \qquad \qquad \text{(b)~ } f(z) = \sin\left(\exp\left(\frac1z\right)\right).$$
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (3+3 Punkte) \\
Es sei $f\colon \CC \setminus\{i,-i,0\} \to \CC$ gegeben durch
\[f(z)= \frac{(z+i)^2}{(z^2+1)^2} + \exp\left(-\frac 1{z^2} \right) \,.\]
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Bestimmen Sie f\"ur jede der isolierten Singularit\"aten von $f$ den Typ und geben Sie den 
	Hauptteil der Laurentreihenentwicklung in einer punktierten Umgebung f\"ur jede der  isolierten Singularit\"aten an.
	\item[(b)] Zeigen Sie, dass $f$ eine Stammfunktion auf $\CC\setminus\{i,-i,0\}$    besitzt.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (3+3 Punkte) \\
Entwickeln Sie $f$ jeweils in eine Laurent-Reihe auf $A_{0,1}(1) = \{z \in \CC ~ | ~ 0 < |z-1| < 1\}$:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] $$f(z) = \frac{1}{(\log z)^2},$$ wobei $\log$ den Hauptzweig des Logarithmus bezeichnet.
	\item[(b)] $$f(z) = \frac{1}{1-z^{1/2}},$$ wobei $z^{1/2}$ durch den Hauptzweig des Logarithmus definiert sei.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (3 Punkte) \\
Für gegebene $n,k \in \ZZ$ und $0 < r \neq 1$ bestimme man die Umlaufzahl der durch 
$$\gamma \colon [0,2\pi] \to \CC \setminus \{0\}, \qquad \gamma(t) := \exp(int) + r \exp(ikt)$$
definierten Kurve um den Nullpunkt. \\

\emph{Hinweis:} Die Umlaufzahl ist homotopieinvariant (auch für Homotopie geschlossener Wege).
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2+3+2+3 Punkte) \\
 Sei $G := B_{2\pi}(0) = \{ z \in \CC ~ | ~ |z| < 2\pi\}$. Auf $G$ betrachten wir die meromorphe Funktion
$$f(z) := \frac{\exp(z) - 1}{\sin(z)}.$$
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Bestimmen Sie alle isolierten Singularitäten von $f$ in $G$ und deren Typ (bei Polen inkl. der Polordnung).
	\item[(b)] Berechnen Sie die Residuen von $f$ in allen Singularitäten.
	\item[(c)] Zeigen Sie, dass $f$ keine Stammfunktion auf $G$ besitzt.
	\item[(d)] Finden Sie $c_1, c_2, a_1, a_2 \in \CC$, sodass
	\begin{align*}
		g(z) := f(z) + c_1\frac{1}{z-a_1} + c_2 \frac{1}{z-a_2}
	\end{align*}
	eine Stammfunktion auf $G$ besitzt.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2+5 Punkte)
Es sei $0 < a < 1$. Zeigen Sie:
\begin{enumerate}
	\item[(a)] Die Funktion $$g \colon \RR \to \RR, \qquad x \mapsto \frac{\exp(ax)}{1+\exp(x)}$$ ist uneigentlich integrierbar.
	\item[(b)] Es gilt
	$$\int_{-\infty}^{\infty} \frac{\exp(ax)}{1+\exp(x)} \mud x = \frac{\pi}{\sin(a\pi)}.$$
	Integrieren Sie dazu eine geeignete holomorphe Funktion über den Rand der Rechtecke mit den Ecken $-R, R, R+2\pi i, -R+2\pi i$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (2+5 Punkte)
Sei $\omega \in \RR$. Zeigen Sie:
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] Die Funktion $$g \colon \RR \to \RR, \qquad x \mapsto \exp(-x^2)\cos(2\omega x)$$ ist uneigentlich integrierbar. Sie dürfen dabei verwenden, dass $x \mapsto \exp(-x^2)$ uneigentlich integrierbar ist.
		\item[(b)] Es gilt
		$$\int_{-\infty}^{\infty} \exp(-x^2)\cos(2\omega x) \mud x = \exp(-\omega^2) \sqrt{\pi}.$$
		\emph{Hinweise:}
		\begin{itemize}
			\item Es darf $\int_{-\infty}^\infty \exp(-x^2) \mud x = \sqrt{\pi}$ verwendet werden.
			\item Betrachten Sie $$\int_{\gamma_R} e^{-z^2} \mud z,$$ wobei $\gamma_R$ der Weg ist, der das Rechteck mit den Eckpunkten $-R, ~ R, ~ R+i\omega, ~ -R+i\omega$ in der angegebenen Reihenfolge einmal durchläuft.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe} (3+3 Punkte) \\
	Es sei $h \colon \CC \to \CC$ holomorph mit $|h(z)| \leq 2$ für alle $|z| = 2$ und $f \colon \CC \to \CC$ definiert durch
	$$f(z) := h(z)^3 + 4z^2 - z + 1.$$
	\begin{enumerate}
		\item[(a)] Bestimmen Sie die Zahl der Nullstellen (gezählt mit Vielfachheiten) der Funktion $f$ auf $B_2(0)$.
		\item[(b)] Sei nun konkret
		$$h(z) := \frac{z}{2}.$$
		Bestimmen Sie die Anzahl der Nullstellen von $f$ auf $A_{1,2}(0) = \{z \in \CC ~ | ~ 1 < |z| < 2\}$.
	\end{enumerate}
\end{aufgabe}


\begin{aufgabe} (4 Punkte) \\
Es sei $a \in \RR$, $a > 1$. Zeigen Sie mit Hilfe des Satzes von Rouch\'e, dass die Gleichung
	\[ z e^{a-z} =1\]
	genau eine L\"osung $z\in \CC$ mit $|z|<1$ besitzt. Zeigen Sie ferner, dass diese Lösung
	reell und positiv ist.
\end{aufgabe}

\begin{center}
	\Large \textbf{Weiterführende Aufgaben} \normalsize
\end{center}

Hier sind Aufgaben für diejenigen, die sich bei den vorherigen Aufgaben gelangweilt haben. Wir möchten betonen, dass die Aufgaben teilweise über den Stoff und die Anforderungen der Vorlesung hinausgehen. \\

\begin{aufgabe} (6 Punkte) \\
	Sei $f \colon \CC \setminus \{0\} \to \CC$ holomorph mit $\Rea(f(z)) > 0$ für alle $z \in \CC \setminus \{0\}$. Zeigen Sie, dass $f$ konstant ist. \\
	\emph{Hinweis:} Überlegen Sie sich zunächst, warum die Singularität von $f$ bei $z = 0$ hebbar ist.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (5 Punkte) \\
Sei $G \subset \CC$ ein Gebiet und $f \colon G \to \CC$ stetig. Sei $L \subset \CC$ eine Gerade. Zeigen Sie: Ist $f$ holomorph auf $G \setminus L$, so kann $f$ holomorph nach $G$ fortgesetzt werden (d.h. es existiert eine holomorphe Funktion $g \colon G \to \CC$ mit $g|_{G \setminus L} = f$).
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (5 Punkte) \\
Sei $\gamma \colon [0,1] \to \CC \setminus \{0\}$ ein Weg mit $\gamma(0) = \gamma(1) \in (0,\infty)$. Für $k \in \mathbb{N}$ werde die Wahl eines Wertes $\gamma(t)^{1/k}$ für die $k$-te Wurzel von $\gamma(t)$ durch $\gamma(0)^{1/k} > 0$ und die Stetigkeit von ${\gamma}^{1/k} \colon [0,1] \to \CC$ festgelegt. Berechnen Sie
$$\int_{\gamma} z^{1/k} \mud z$$
in Abhängigkeit von $k$, $\gamma(0)$ und der Umlaufzahl $n_\gamma(0)$.
\end{aufgabe}

\begin{aufgabe} (4 Punkte) \\
Sei $B_1(0) \subset \CC$ die Einheitskreisscheibe und $$\overline{B_1(0)} = \{z \in \CC ~ | ~ |z| \leq 1\}$$ ihr Abschluss. Finden Sie ein Beispiel einer Funktion $f \colon \overline{B_1(0)} \to \CC$ mit den folgenden Eigenschaften:
\begin{enumerate}[label=(\theenumi),ref=(\theenumi)]
	\item $f$ ist stetig,
	\item $f|_{B_1(0)}$ ist holomorph,
	\item ist $G \subset \CC$ ein Gebiet, das $\overline{B_1(0)}$ enthält, so besitzt $f$ keine analytische Fortsetzung nach $G$.
\end{enumerate}
\end{aufgabe}


%\begin{aufgabe} (5 Punkte) \\
%In \hyperref[aufg:doppelt-periodisch]{Aufgabe~\ref*{aufg:doppelt-periodisch}} wurde definiert, wann eine Funktion $\CC \to \CC$ doppelt periodisch heißt. Der Begriff der (doppelten) Periodizität kann auch für meromorphe Funktionen auf $\CC$ definiert werden: Eine meromorphe Funktion $f$ auf $\CC$ heißt \emph{doppelt periodisch}, wenn es $\RR$-linear unabhängige $\omega_1, \omega_2 \in \CC$ gibt, sodass
%\begin{align*}
%	\forall z \in \CC \colon \qquad f(z) = f(z+\omega_1) = f(z + \omega_2).
%\end{align*}
%Das ist so zu verstehen: Hat $f$ in $z$ einen Pol, so auch in $z + \omega_1$ und $z + \omega_2$.
%Zeigen Sie für eine doppelt periodische meromorphe Funktion $f$ auf $\CC$ mit Perioden $\omega_1, \omega_2$:
%\begin{enumerate}
%	\item[(a)] Hat $f$ in $z$ einen Pol $n$-ter Ordnung, so auch in $z + \omega_1$ und $z + \omega_2$. 
%	\item[(b)] Die Menge der Polstellen von $f$ sei 
%	\begin{align*}
%		\ZZ \omega_1 + \ZZ \omega_2 = ¸
%	\end{align*}
%\end{enumerate}
%\end{aufgabe}


\newpage 
\textbf{Abgabedetails:}
\textbf{{\red Hinweise zur Abgabe am Beginn des Blattes beachten!}}

\begin{itemize}
	\item Freitag, 12.01.2024 bis 10 Uhr.
	\item Abgabe in Gruppen bis zu zwei Personen möglich und erwünscht.
	\item Das Blatt in den für Ihre Gruppe vorgesehenen Briefkasten im Keller des mathematischen Instituts einwerfen. 
	\item Versehen Sie die Abgabe mit den Namen und der Matrikelnummer aller Personen der Gruppe.

\end{itemize}

\end{document}




