Fr 8-10, SR404, Eckerstr. 1
Jeweils Di und Do, 10-12, SR403, Eckerstr. 1
Die erste Übung findet am 24.10. statt.
- 25.10.13: Garbe und Prägarben, Hartshorne II.1
Sei X=C als topologischer Raum, O die Garbe der holomorphen Funktionen, O^* die Garbe der nichtverschwindenden holomorphen
Funktionen, exp:O\to O^* die Exponentialabbldung. Zeigen Sie, dass exp als Morphismus von Garben surjektiv ist, aber nicht
als Morphismus von Prägarben.
Hartshorne II. 1.3, 1.8, 1.17, 1.19
- 1.11.13: Feiertag! Gelegenheit, die Grundlagen aus der Kategorientheorie nachzuarbeiten. Als Denkfutter hier ein Übungsblatt.
- 8.11.13: Schemata und Morphismen von Schemata, erster Teil von Hartshorne II.2
- Sei $(X,\Oh_X)$ ein lokal geringter Raum, so dass jeder Punkt eine Umgebung $U$ hat so dass $(U,\Oh_X|_U)$ isomorph ist zu $(U',\Ch)$ wobei $U\subset \R^n$ offen und $\Ch$ die Garbe der differenzierbaren Funktionen auf $U$. Zeigen Sie, dass $X$ eine eindeutige Struktur als differenzierbare Mannigfaltigkeit trägt, so dass $\Oh_X$ die Garbe der differenzierbaren Funktionen auf $X$ ist.
\item Verstehen Sie $\Spec A$ mit seiner Topologie in den folgenden Fällen:
$\Z$, $k$ Körper, $k[X]$ und $k[X,Y]$ für $k$ algebraisch abgeschlossener Körper, $\Z_p$ ($p$-adische Zahlen), $\Z/p^n$ für $p$ Primzahl, $k[[X]]$ für $k$ Körper.
- $\Spec(A\oplus B)=\Spec A\cup \Spec B$
- Hartshorne II.2.1, 2.3, 2.5, 2.7, 2.19
- 15.11.13:Varietäten, projektiver Raum, erste Eigenschaften
Hartshorne II 2.10, 2.11, 3.5, 3.6, 3.8
- 22.11.13:Immersionen, T-wertige Punkte, Faserprodukt Ha II.3
- Hartshorne II 3.9, 3.10, 3.13
- Sei f:X\to Y ein S-Morphismus. Wir definieren den Graphen G_f als
G_f(T)={ (x,f(x)) in X(T) x_{S(T)} Y(T) }
Zeigen Sie, dass die natürliche Abbildung G_f\to X ein Isomorphismus ist,
insbesondere ist G_f ein Schema.
Sei g:Y\to Z ein weiterer S-Morphismus. Zeigen Sie
G_{fg}=G_f x_{Y}G_g
- 29.11.13 Separtiert und eigentlich, Bewertungsringe Ha II.4
- Sei A eindimensionaler lokaler noetherscher Integritätsbereich mit
maximalem Ideal m und Restklassenkörper k. Dann sind äquivalent:
- A ist ein diskreter Bewertungsring
- A ist ganz abgeschlossen
- m ist ein Hauptideal
- dim_k(m/m^2)=1
- Jedes Ideal ungleich 0 ist eine Potenz von m
- Es gibt x in A so dass jedes Ideal ungleich 0 von
der Form (x^k) ist mit k\geq 0.
- Ha II 4.1, 4.2, 4.3, 4.8
- 6.12.13 Bewertungskriterien Ha II.4
- Ample und sehr ample Garben Ha II.5 und II.7
Ha II 5.13, 5.16,5.18,7.5
- 10.1.14 Geradenbündel, Check-Kohomologie und Cartier-Divisoren Ha II 6, III 4
- Zeigen Sie, dass der Morphismus auf H^1 nicht von der Wahl einer Verfeinerungsabbildung abhängt.
- Leiten Sie den Anfang der langen exakten Kohomologiesequenz (H^0 und H^1) fuer eine kurze exakte Sequenz
von Garben her
- Machen Sie Cartier-Divisoren und Geradenbündel im Falle des Spektrums eines Dedekindrings explizit
- Ha II 6.10
- 17.1.14 Weil-Divisoren und Cartier-Divisoren Ha II 6
Ha II 6.1, 6.6, dazu Beispiel 6.10.2, ausserdem Bsp. 6.5.2 und 6.11.3
- 24.1.14 Differentialformen Ha II 8, Matsumura: Commutative algebra
- Ha II 8.3 (a)
- Berechnen Sie den Grad von \Omega_{E/k} fuer die projektive Kurve E zu
V (y^2-x(x-1)(x-2)), wobei die Charakteristik nicht 2 ist.
- Ha Thm 8.3
- Lesen Sie den Beweis der Aussagen aus der kommutativen Algebra nach
- 31.1.14 Regularität und Glattheit Ha I 5, II 8 und III 10
Ha I 5.10, II 8.6, III 10.1