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Proseminar Zahlentheorie

Mittwochs 12-14, SR 404, Eckerstr. 1

Oliver Bräunling

Vorbesprechung:

SR 414 (Eckerstraße 1), Mittwoch, 8. Juli, 12 Uhr

Anmeldung:

Teilnehmer-Liste bei Frau Frei (Raum 433)

Ablauf:

Je nach Teilnehmerzahl sollen die Vorträge einzeln oder zu zweit vorbereitet und gehalten werden, wobei die Themen gleichmäßig aufgeteilt werden sollen.
Das Programm enthält einige "größere Themen", die zwei aufeinanderfolgende Vorträge einnehmen. Dies bedeutet, dass sich die Vortragenden entweder gemeinsam vorbereiten, oder aber zumindest in sehr enger Abstimmung ihre Themenaufteilung koordinieren.
Alle Vortragenden sollten mindestens eine Woche vor ihrem Vortragstermin zu einer Vorbesprechung kommen, zu der der Vortrag bereits vollständig ausgearbeitet sein soll.
Die Vorträge sollen ca. 80 Minuten lang sein. Man sollte dabei beachten, dass Zwischenfragen der Zuhörer erlaubt und auch erwünscht sind, sodass man effektiv deutlich weniger reine Vortragszeit zur Verfügung hat.

Übersicht zum Thema:

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind? Überraschenderweise $6/\pi^{2}$ , wobei es zunächst völlig unklar erscheinen mag, was Primzahlen überhaupt mit einer Zahl wie $\pi$ zu tun haben. Wie viele Möglichkeiten gibt es eine natürliche Zahl als Summe natürlicher Zahlen zu schreiben? Wenn klein ist, kann man das von Hand schnell durchprobieren. Für große wird dies zunehmend unpraktikabel. Man kann jedoch zeigen, dass je größer , die Zahl ungefähr MATH ist. Wir wollen uns mit solchen oder ähnlichen Fragen beschäftigen. Auch damit, was eine algebraische oder transzendente Zahl ist, und warum es kein Polynom mit rationalen Koeffizienten gibt, dass bei $\pi$ eine Nullstelle hat.

(Sehr vorläufiges) Programm:

Erzeugendenfunktionen (D. Newman, Kapitel 1, S. 1-10, endet vor "An identity of Euler")
Wir schreiben kombinatorische Größen als Potenzreihen auf und verwenden mit großem Effekt algebraische Operationen, z.B. die Partialbruchzerlegung, um aus den Eigenschaften dieser Funktionen etwas über das ursprüngliche kombinatorische Problem zu sagen.
Bernoulli-Zahlen, Polynome und Euler-MacLaurin Summation I
(Optional) Bernoulli-Zahlen, Polynome und Euler-MacLaurin Summation II
Kombiniertes Thema: Die Berechnung von $\sum_{k=1}^{n}k$ ist Schulstoff. Was ist mit für ? Eine allgemeine Idee ist es, solche Summen durch das korrespondierende Integral anzunähern; vielleicht kann man den Fehler dieser Annäherung genau bestimmen? Dies führt auf Bernoulli-Polynome, die Faulhaber'sche Formel für und die Stirling-Formel . Siehe Apostol, §3.3. Evtl. auch Dirichlet's asymptotische Formel (Apostol, §3.5, Thm. 3.2 + Thm. 3.3).
Wegintegrale und der Integralsatz von Cauchy (z.B. Jänich)
Wir lernen oder wiederholen, wie man eine komplex differenzierbare Funktion entlang eines Weges integriert und den zentralen Integralsatz von Cauchy, der uns noch mehrfach begegnen wird. Das Maximum Modulus Prinzip.
Die Partitionsfunktion I, Asymptotik von Hardy-Ramanujan (D. Newman, Kapitel 2)
Die Partitionsfunktion II, Asymptotik von Hardy-Ramanujan (D. Newman, Kapitel 2)
Auf wie viele Varianten kann man eine natürliche Zahl als Summe natürlicher Zahlen schreiben? Dies erfordert zwei oder gar drei Vorträge und lässt sich nur realistisch gemeinsam vorbereiten. Auch die Aufteilung des Materials auf zwei Vorträge soll von den Vortragenden konzipiert werden.
Die Riemann'sche Zetafunktion, Definition Dirichlet-Reihen
Wir definieren die Zetafunktion, beweisen die zentrale Formel und diskutieren die analytische Fortsetzung, Konvergenz und grundlegende Eigenschaften von Dirichlet -Reihen (z.B. Knapp, Kapitel VII, §1 und §2, oder Apostol oder Serre)
(Optional) Multiplikative Funktionen und Dirichlet-Reihen
Wir wollen uns mit dem Konzept der -Reihen näher beschäftigen.
Dirchlets Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen I
Dirchlets Satz über Primzahlen in arithmetischen Progressionen II
Dieser Satz erfordet zwei Vorträge. Eine sinnvolle Aufteilung wäre: Fourier-Theorie auf endlichen abelschen Gruppen und der Hauptbeweis ohne die Nichtverschwindungs-Aussage $L(\chi,1)\neq0$ . Im 2. Vortrag: $L(\chi,1)\neq0$ . Bei Knapp wäre dies Kapitel VII, §3 und §4, ohne Lemma 7.11. Für die Nichtverschwindung gibt es alternative knappere Argumente als bei Knapp.
Die Gammafunktion und die Formel von Wallis
Wir diskutieren die Gammafunktion und die Formel von Wallis Evtl. Formulierung der Funktionalgleichung der Zetafunktion.
Die unendliche Partialbruchdarstellung des Kotangens
Siehe z.B. Delahaye. Die Formel für soll gezeigt werden. Als Anwendung dieser Formel zeigt man die berühmte Formel durch Bestimmung der Taylorreihe der Funktion $x\cot x$ via der Partialbruchdarstellung, sowie Ausnutzung der elementaren Identität . Es folgt Es gibt auch eine statistische Interpretation: \Die Wahrscheinlichkeit, dass zwei beliebig gewählte natürliche Zahlen teilerfremd sind, ist genau ", also ca. $61\%$ .
Der Primzahlsatz I
Der Primzahlsatz II
aus dem Buch von Newman, oder die Darstellung von Don Zagier.
Algebraische Zahlen und Siegels Lemma
Wir wollen definieren was eine algebraische Zahl ist und beweisen, dass diese Zahlen einen Ring formen. Wir wollen einige Grundbegriffe kennenlernen, z.B. die Norm, und Siegels Lemma über die ganzzahligen Lösungen linearer Gleichungssysteme kennenleren (S. Lang, Introduction to transcendental numbers, Chapter 1).
Der Sätze von Schneider-Lang und Gelfond-Schneider.
Wir beweisen den Satz von Schneider-Lang (S. Lang, Introduction to transcendental numbers, Chapter 3, §1-§3). Der Satz von Gelfond-Schneider folgt unmittelbar. Die Anwendung auf $\wp$ und aus dem Buch lassen wir weg.
Abzählbar, überabzählbar
Wir wollen die Begriffe "abzählbar" und "überabzählbar" kennenlernen. Dann wollen wir zeigen, dass die reellen und transzendenten Zahlen überabzählbar sind und die algebraischen abzählbar (Cantor).