Übungen zur Vorlesung “Mengenlehre” WS 2009/2010, Blatt 10

Aufgabe 21: Die Addition von Ordinalzahlen bezeichnen wir hier mit ⊕. Wir erinnern an die Definition (die bereits in 4.15 gegeben wurde):

α ⊕ β = wo((α, ∈_{α}) + (β, ∈_{β})).

Man zeige den Satz über die ordinale Addition (vgl. auch Blatt 7, Aufgabe 14):

a) Die ordinale Addition ist assoziativ (jedoch nicht kommutativ, da etwa 1 ⊕ ω ≠ ω ⊕ 1).

b) ∀α : α ⊕ 0 = α = 0 ⊕ α.

c) ∀α, β, γ ∈ Ord: (wenn α ⊕ β = α ⊕ γ, so β = γ) (jedoch 1 ⊕ ω = 0 ⊕ ω).

d) Für alle α, β mit α ≤ β gibt es genau ein γ mit α ⊕ γ = β (jedoch ist die Gleichung x ⊕ ω = ℵ_{1} nicht lösbar).

e) Für jedes α und jede Menge a von Ordinalzahlen gilt:

α ⊕ sup a = sup{α ⊕ β | β ∈ a}

(jedoch sup ω ⊕ ω ≠ sup{i ⊕ ω | i ∈ ω}).

Man folgere: ⊕ kann auch über die folgenden Gleichungen definiert werden.

α ⊕ 0 := α
α ⊕ (β + 1) := (α ⊕ β) + 1
wenn Lim γ, so  α ⊕ γ := ⋃{α ⊕ β | β < γ}.

Aufgabe 22: Man zeige: ∀α ∃β : (α ≤ β und ℵ_{β} = β).

Abgabe: Mittwoch, 27. Januar, vor der Vorlesung. Es wäre schön, wenn Sie beide Aufgaben bearbeiten würden.

Die Übungsblätter findet man auch unter

     http://home.mathematik.uni-freiburg.de/bjoern/lehre/ml0910/ml0910.html