Übungen zur Vorlesung “Mengenlehre” WS 2009/2010, Blatt 12

Aufgabe 24: Man berechne die ω-adische Darstellung von ℵ_{1}. Aufgabe 25: Gilt stets für Ordinalzahlen α, β, γ

α^{(β+γ)} = α^{β} · α^{γ}?

Aufgabe 26: Sei x eine Menge von Teilmengen von ℝ, also x ⊆ P (ℝ). Wir setzen

x^{+} := {ℝ \ y | y ∈ x} ∪ {y ∩ z | y, z ∈ x} ∪ {⋃ y | y ⊆ x, |y| ≤ ℵ_{0}}. Ausgehend von x definiere man x_{α} durch transfinite Induktion

x_{0} := x
x_{α+1} := (x_{α})^{+}
wenn Lim γ, so x_{γ} := ⋃{x_{α} | α < γ}.

Man zeige:

a) ∀α, β ∈ Ord: wenn α ≤ β, so x_{α} ⊆ x_{β};

b) ⋃{x_{α} | α ∈ Ord} = x_{ℵ_{1}}. Ist x die Menge der offenen Mengen, so ist ⋃{x_{α} | α ∈ Ord} die σ-Algebra der Borelmengen. Man kann für jede Borelmenge y zeigen, dass (|y| ≤ ℵ_{0} oder |y| = 2^{ℵ_{0}}) gilt.

Abgabe: Mittwoch, 10. Februar, vor der Vorlesung. Die Übungsblätter findet man auch unter

     http://home.mathematik.uni-freiburg.de/bjoern/lehre/ml0910/ml0910.html