Übungen zur Vorlesung “Mengenlehre” WS 2009/2010, Blatt 2

Aufgabe 3:

a) Sei A := {1, 2}. Man gebe alle monotonen Funktionen H : P (A) → P (A) mit

H({1}) = {2} und H({2}) = {1}

an und bestimme ihre Fixpunkte.

b) Ein Fixpunkt X einer monotonen Funktion H : P (A) → P (A) ist kleinster Fixpunkt

von H, wenn X ⊆ Z für alle Fixpunkte Z von H gilt,

und größter Fixpunkt von H, wenn

Z ⊆ X für alle Fixpunkte Z von H gilt.

Man zeige: H besitzt einen kleinsten und einen größten Fixpunkt.

Aufgabe 4: Sei

A := {r ∈ [0, 1] | für alle i ≥ 1 gibt es r_{i} ∈ {0, 2} mit r = ∑_{i=1}^{∞} r_{i} · 3^{−i}}.

Man zeige:

A ∼ ℝ und A′ = A.

Abgabe: Mittwoch, 4. November, vor der Vorlesung. Zu bearbeitende Aufgaben: eine. Die Übungsblätter findet man auch unter

http://home.mathematik.uni-freiburg.de/bjoern/lehre/ml0910/ml0910.html