Übungen zur Vorlesung “Mengenlehre” WS 2009/2010, Blatt 4

Sei X eine nicht leere Menge von Ordinalzahlen und β eine Ordinalzahl.

• β ist untere Schranke von X, wenn β ≤ α für alle α ∈ X.

• β ist obere Schranke von X, wenn α ≤ β für alle α ∈ X.

Aufgabe 7: Sei X eine nicht leere Menge von Ordinalzahlen. Man zeige:

a) ⋃ X ist eine Ordinalzahl.

b) ⋃ X ist obere Schranke von X; ist β eine obere Schranke von X, so ist ⋃ X ≤ β. Wir bezeichnen daher ⋃ X auch mit sup X.

c) ⋂ X ist untere Schranke von X; ist β eine untere Schranke von X, so ist β ≤ ⋂ X. Wir bezeichnen daher ⋂ X auch mit inf X.

d) inf X (= ⋂ X) ∈ X.

Aufgabe 8: Eine Ordinalzahl α ist eine Limeszahl, wenn α ≠ ∅ und α ≠ β + 1 für alle Ordinalzahlen β. Man zeige:

a) Für jede Ordinalzahl α gilt α ist Limeszahl ⟺ α ≠ ∅ und α = ⋃ α.

b) Ist α eine Limeszahl, so

α = ⋃{β + 1 | β ∈ α}.

Abgabe: Mittwoch, 18. November, vor der Vorlesung. Eine Aufgabe zu bearbeiten. Die Übungsblätter findet man auch unter

     http://home.mathematik.uni-freiburg.de/bjoern/lehre/ml0910/ml0910.html