Übungen zur Vorlesung “Mengenlehre” WS 2009/2010, Blatt 8

Aufgabe 16: Man zeige: Jeder Vektorraum besitzt eine Basis.

Zur Erinnerung: Ist v ein Vektorraum und v_{0} seine Menge von Vektoren, so bezeichnen wir für x ⊆ v_{0} mit [x]^{v} den kleinsten Unterraum von v, der x umfasst. Wenn [x]^{v} alle Vektoren von v enthält und x linear unabhängig ist, so ist x eine Basis von v.

Aufgabe 17: Die Relation R sei lokal, d.h. es gelte {c | cRb} ∈ V für alle b ∈ Fld(R). Dann gibt es eine (eindeutig bestimmte) Relation S mit (a) und (b).

(a) R ⊆ S und S ist transitiv.

(b) Ist T eine transitive Relation mit R ⊆ T, so ist S ⊆ T.

Die Relation S ist die transitive Hülle von R. Man zeige, dass S lokal ist. Unter Verwendung von S zeige man, dass man im Allgemeinen Rekursionssatz auf die Voraussetzung “R ist transitiv” verzichten kann.

Abgabe: Mittwoch, 13. Januar, vor der Vorlesung. Sie sollten mindestens Aufgabe 16 bearbeiten. Die Übungsblätter findet man auch unter

     http://home.mathematik.uni-freiburg.de/bjoern/lehre/ml0910/ml0910.html