Anwesenheitsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 1 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 22. April 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Geometrische Bedeutung komplexer Begriffe)

a) Skizzieren Sie die folgenden Zahlen in der Gaußschen Zahlenebene:

z_{1} = \sqrt{3} + i, z_{2} = \sqrt{2}e^{i \frac{7π}{4}} , z_{3} = 2(cos \frac{5π}{3} + i sin \frac{5π}{3} ).

b) Erklären Sie die geometrische Bedeutung der folgenden Begrifflichkeiten oder Sachverhalte:

Absolutbetrag |z|, Realteil Re z, Imaginärteil Im z, |z|^{2} = (Re z)^{2} + (Im z)^{2}, Argument arg z, komplexe Konjugation z̄, Addition w + z, Subtraktion w − z, Multiplikation w · z, Division \frac{w}{z} für z ≠ 0, Re z = \frac{1}{2}(z + z̄), Im z = \frac{1}{2i}(z − z̄).

c) Skizzieren Sie jeweils die Menge aller z mit folgenden Eigenschaften:

Re z = 0, |Re z| = |Im z|, (Re z)^{2} + (Im z)^{2} = r mit r > 0, Re z ∈ M ∧ Im z ∈ M mit M = \{\frac{1}{n} : n ∈ ℕ\}, sin (Im z) + sin (Im z̄) = 0.

Aufgabe 2 (Rechnen mit komplexen Zahlen)

a) Vereinfachen Sie weitestmöglich die folgenden Ausdrücke: (1 + 2i)^{3}, (\frac{2+i}{3−2i})^{2}.

b) Schreiben Sie z_{1} aus Aufgabe 1 a) in der Form re^{iφ}.

c) Schreiben Sie z_{2} und z_{3} aus Aufgabe 1 a) jeweils in der Form a + ib.

d) Bestimmen Sie Real- und Imaginärteil folgender Zahlen: (\frac{2+4i}{1−i})^{2}, \frac{z−1}{z+1} mit z = x + iy.

e) Berechnen Sie die Norm von \frac{(3+4i)(−1+2i)}{(−1−i)(3−i)}.

Aufgabe 3 (Komplexe Konjugation) Beweisen Sie folgenden Eigenschaften der komplexen Konjugation:

\overline{w + z} = \overline{w} + \overline{z}, \overline{wz} = \overline{w} · \overline{z}, \overline{(\overline{z})} = z (komplexe Konjugation ist involutiv), z\overline{z} = x^{2} + y^{2} für z = x + iy, |z| = |\overline{z}|, z = \overline{z} ⇔ z ∈ ℝ.

Aufgabe 4 (Konvexe Hülle) Seien a_{i} ∈ ℂ, λ_{i} ∈ ℝ für 1 ≤ i ≤ n gegeben. Zeigen Sie: Aus |a_{i}| < 1, 0 ≤ λ_{i} und ∑_{i=1}^{n} λ_{i} = 1 folgt | ∑_{i=1}^{n} λ_{i}a_{i}| < 1. Geben Sie eine anschauliche Interpretation.

Aufgabe 5 (Formel von de Moivre) Beweisen Sie für n ∈ ℤ die Formel von de Moivre: (cos φ + i sin φ)^{n} = cos nφ + i sin nφ.

Aufgabe 6 (Matrixdarstellung des komplexen Zahlenkörpers) Zeigen Sie: Die reellen Matrizen der Form ( \begin{matrix}x & −y \\ y & x \end{matrix} ) bilden unter der üblichen Addition und Multiplikation einen Körper, der zu ℂ isomorph ist.

Welche Matrizen entsprechen den reellen Zahlen, welche den imaginären?