Anwesenheitsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 2 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 15. Juli 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Isolierte Singularitäten & Residuum)

a) Bestimmen Sie die Arten aller auftretenden Singularitäten: i)f(z) = \frac{z^{3}+3z+2i}{z^{2}+1} , ii)g(z) = z e^{1/(1−z)}.

b) Berechnen Sie die folgenden Residuen:  i) res_{0} \frac{1−cos z}{z^{3}} ,  ii) res_{0} \frac{z^{n−1}}{sin^{n} z}.

Aufgabe 2 (Berechnung reeller Integrale mittels Residuensatz)

a) Verifizieren Sie die Gleichung ∫\begin{matrix}∞ \\ 0 \end{matrix} \frac{cos x}{(1+x^{2})^{3}} dx = \frac{7π}{16e}.

b) Verifizieren Sie für natürliches n ≥ 2 die Gleichung ∫\begin{matrix}∞ \\ 0 \end{matrix} \frac{dx}{1+x^{n}} = \frac{π}{n}(sin \frac{π}{n})^{−1}.

Aufgabe 3 (Meromorphe Funktionen)

Sei I : ℂ̂ → ℂ̂ gegeben durch I (z) = \frac{1}{z} für z ∈ ℂ^{∗}, I (0) = ∞, sowie I (∞) = 0. Es sei weiter Ω ⊂ ℂ̂ offen. Eine Fkt. f : Ω → ℂ heißt holomorph auf Ω, falls f auf Ω \ {∞} und f ∘ I auf I (Ω) \ {∞} holomorph ist. Eine Fkt. g : Ω → ℂ heißt meromorph auf Ω, falls eine Menge P_{g} ⊂ Ω ohne Häufungspunkt in Ω existiert, so daß g auf Ω \ P_{g} holomorph und jedes z ∈ P_{g} Polstelle von g ist.

a) Es sei Ω ⊂ ℂ̂ ein Gebiet. Definieren Sie auf der Menge M(Ω) der auf Ω meromorphen Funktionen eine Addition + und eine Multiplikation ·, so daß (M(Ω), +, ·) einen Körper bildet.

b) i) Zeigen Sie: Die auf ganz ℂ̂ meromorphen Funktionen sind genau die ganzrationalen, die auf

ganz ℂ̂ sogar holomorphen unter ihnen genau die konstanten. ii) Folgern Sie aus i) den Fundamentalsatz der Algebra.

Anmerkung: (M(Ω), +, ·) ist identisch dem Quotientenkörper der auf Ω holomorphen Funktionen. Die auf Ω meromorphen Funktionen sind als Abbildung zwischen Riemannschen Flächen genau die auf Ω holomorphen nach ℂ̂, Polstellen treten somit nicht mehr gesondert als isolierte Singularität in Erscheinung.

Aufgabe 4 (Elliptische Funktionen)

Eine meromorphe Funktion f : ℂ → ℂ̂ heißt elliptisch, falls es über ℝ linear unabhängige ω_{1}, ω_{2} ∈ ℂ gibt, so daß f sowohl ω_{1}, als auch ω_{2}-periodisch ist.

Das Paar (ω_{1}, ω_{2}) heißt Erzeugendensystem des Gitters Γ = {k_{1}ω_{1} + k_{2}ω_{2} : k_{1}, k_{2} ∈ ℤ}, das durch ω_{1}, ω_{2} aufgespannte halboffene Parallelogramm P = {t_{1}ω_{1} + t_{2}ω_{2} : 0 ≤ t_{1}, t_{2} < 1} Fundamentalbereich.

a) Sei f : ℂ → ℂ̂ eine elliptische Funktion mit Polstellen a_{1}, …, a_{k} im Fundamentalbereich. Zeigen Sie: ∑_{ν=1}^{k} res_{a_{ν}} f = 0.

b) Folgern Sie: Hat eine elliptische Funktion f in P höchstens einen einfachen Pol, so ist f konstant.

c) Eine nichtkonstante elliptische Funktion f nimmt in P (unter Berücksichtigung von Vielfachheiten) jeden Wert aus ℂ̂ gleich oft an.

Anmerkung: Trotz der bewiesenen Restriktionen existieren auch nichtkonstante elliptische Funktionen, als wichtigstes Beispiel die durch ℘(z) = \frac{1}{z^{2}} + ∑_{ω∈Γ\\{0\}}(\frac{1}{(z−ω)^{2}} − \frac{1}{ω^{2}} ) gegebene Weierstraßsche ℘-Funktion.