Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 1 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 22. April 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Lagrangesche Identität & Ungleichung von Cauchy-Schwarz)

a) Seien a_{i}, b_{i} ∈ ℂ für 1 ≤ i ≤ n gegeben. Verifizieren Sie die Lagrangesche Identität

| ∑_{i=1}^{n} a_{i}b_{i}|^{2} = ∑_{i=1}^{n} |a_{i}|^{2} ∑_{j=1}^{n} |b_{j}|^{2} − ∑_{1≤i<j≤n} |a_{i}b̄_{j} − a_{j}b̄_{i}|^{2}.

b) Folgern Sie für den unitären Vektorraum (ℂ^{n}, ⟨·, ·⟩) mit ⟨v, w⟩ = v^{t} ·\overline{w} die Ungleichung von Cauchy-Schwarz: |⟨v, w⟩| ≤ |v| |w|. Schließen Sie direkt aus a), wann Gleichheit eintritt.

Aufgabe 2 (Geometrie in der komplexen Ebene)

Zeigen Sie, daß drei paarweise verschiedene Punkte a, b, c ∈ ℂ genau dann die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks bilden, wenn a^{2} + b^{2} + c^{2} = ab + bc + ca gilt.

Aufgabe 3 (Wurzeln komplexer Zahlen)

a) Berechnen Sie für n ≥ 2 alle n-ten Wurzeln von z = a + ib, das heißt alle Lösungen der Gleichung ζ^{n} = z. Geben Sie dabei die Lösungen in der Form ζ = r(cos φ + i sin φ), im Fall n = 2 zusätzlich in der Form ζ = α + iβ an.

b) Zeigen Sie, daß keine auf ganz ℂ stetige Quadratwurzel existiert, es also keine stetige Abbildung f : ℂ → ℂ mit f^{2}(z) = z für alle z ∈ ℂ gibt. Finden Sie eine naheliegende, bezüglich Inklusion maximale Teilmenge von ℂ, auf der eine stetige Wurzelfunktion existiert.

c) Eine Zahl z ∈ ℂ heißt n-te Einheitswurzel, falls z^{n} = 1 gilt. Berechnen Sie für festes n ∈ ℕ mit n ≥ 2 die Summe, sowie das Produkt aller n-ten Einheitswurzeln.

Aufgabe 4 (Anordnung: Vergleich ℝ mit ℂ)

Ein geordneter Körper ist ein Körper (𝕂, +, ·) mit einer (totalen) Ordnung ≤, die folgenden Axiomen genügt: A1 Aus a ≤ b, c ∈ 𝕂 folgt a + c ≤ b + c. A2 Aus 0 ≤ a, 0 ≤ b folgt 0 ≤ a · b.

a) Zeigen Sie, daß der Körper ℂ nicht angeordnet werden kann, das heißt es existiert keine Ordnung ≤ auf ℂ, die den Axiomen A1, A2 genügt.

b) Bestimmen Sie alle Körperautomorphismen auf ℝ.

c) Bestimmen Sie alle stetigen Körperautomorphismen auf ℂ.

Anmerkung: Bei der Bestimmung der Körperautomorphismen auf ℝ geht wesentlich die Existenz einer Anordnung - die nach Teil a) auf ℂ fehlschlägt - ein. Verzichtet man auf Stetigkeit, so existieren auf ℂ in der Tat überabzählbar unendlich viele Körperautomorphismen.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 29.04.2008, bis 9.15 Uhr.