Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 10 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 01. Juli 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Laurent-Entwicklung)

a) Berechnen Sie die Laurent-Reihe der Funktion \frac{1}{z(z−3)^{2}} für 1 < |z − 1| < 2.

b) Berechnen Sie den Hauptteil der Laurent-Reihe der Funktion \frac{z−1}{sin^{2} z} für 0 < |z| < π.

c) Bestimmen Sie das Konvergenzgebiet der Laurent-Reihe ∑_{−∞}^{∞} 2^{n}(z + 2)^{n}.

Aufgabe 2 (Zur Existenz holomorpher Zweige)

a) Sei Ω ⊂ ℂ ein die Punkte ±1 nicht umfassendes Gebiet. Überdies seien ±1 in derselben Komponente von ℂ \ Ω enthalten. Zeigen Sie, daß auf Ω ein holomorpher Zweig von \sqrt{1 − z^{2}} existiert.

b) Bestimmen Sie sämtliche möglichen Werte von ∫ \frac{dz}{\sqrt{1−z^{2}}} über einen geschlossenen Weg in Ω.

Aufgabe 3 (Homologie & mehrfach zusammenhängende Mengen)

a) Sei Γ eine geschlossene 1-Kette in einem Gebiet Ω ⊂ ℂ. Zeigen Sie: Existiert eine 2-Kette Λ in Ω mit ∂Λ = Γ, so ist Γ nullhomolog in Ω.

b) Zeigen Sie, daß ein einfach zusammenhängendes Gebiet nach Entfernung von m Punkten m+1-fach zusammenhängend ist und finden Sie eine Homologiebasis.

Anmerkung: Zum Begriff der 2-Kette siehe Serie 9, Aufgabe 4.

Aufgabe 4 (Jordanscher Kurvensatz für stückweise C^{1}-Kurven)

Ein Weg γ : [a, b] → ℂ heißt einfach geschlossen, wenn er geschlossen und auf [a, b) injektiv ist. Zeigen Sie: Ist γ einfach geschlossen und stückweise C^{1}, so besteht ℂ \ spur γ aus genau zwei Komponenten, einer beschränkten und einer unbeschränkten. Folgen Sie dabei nachstehender Argumentation:

1.) Es existieren mindestens zwei Komponenten:

- In gewissen kleinen Bereichen läßt sich die Kurve als Graph über ihrer Tangente schreiben.

- Der Graph ist in einem geeigneten Rechteck enthalten, das keine weiteren Kurvenpunkte enthält.

- Es gibt durch den Graph getrennte Punkte p, q innerhalb des Rechtecks mit n(γ, p) ≠ n(γ, q).

2.) Es existieren höchstens zwei Komponenten:

- Sind die Ränder zweier Komponenten nicht disjunkt, so sind sie identisch.

- Der Rand jeder Komponente ist bereits die gesamte Kurve.

- Es gibt höchstens, und damit genau zwei Komponenten, eine beschränkte und eine unbeschränkte.

Anmerkung: Der Jordansche Kurvensatz gilt wesentlich allgemeiner auch für stetige Kurven, also auch ohne der Voraussetzung stückweiser Differenzierbarkeit noch.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 08.07.2008, bis 9.15 Uhr.