Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 2 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 29. April 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Komplexe Differenzierbarkeit)

Untersuchen Sie, in welchen Punkten die folgenden Funktionen f : ℂ → ℂ komplex differenzierbar sind:

i) f(z) = |z|^{2}, ii) f(z) = \frac{z}{|z|} (für z ∈ ℂ \ \{0\}), iii) f(z) = min{0, (|z| − 1)^{3}}, iv) f(x + iy) = x^{3}y^{2} + i x^{2}y^{3}.

Aufgabe 2 (Holomorphe Funktionen mit gegebenen Eigenschaften)

a) Existiert eine in einer offenen Umgebung des Nullpunktes holomorphe Funktion, die für alle hinreichend großen n ∈ ℕ eine der folgenden Bedingungen erfüllt?

i) f(\frac{1}{n}) = \frac{1}{2n+1}, ii) 0 < |f(\frac{1}{n})| < e^{−n}.

b) Seien a, b ∈ ℝ gegeben. Bestimmen Sie alle holomorphen Funktionen auf ℂ mit Realteil x^{2} + 2a xy + b y^{2}.

Aufgabe 3 ( 𝕊^{2} als Riemannsche Fläche)

Es sei 𝕊^{2} = {x ∈ ℝ^{3} : |x| = 1}, N := (0, 0, 1), S := (0, 0, −1). Die stereographische Projektion φ_{N} : 𝕊^{2} \{N} → ℝ^{2} vom Nordpol ordnet jedem p ∈ 𝕊^{2} \{N} den Schnittpunkt der Geraden durch N und p mit der Ebene ℝ^{2} × {0} zu. Entsprechend wird φ_{S} : 𝕊^{2} \ {S} → ℝ^{2} definiert.

a) Leiten Sie anhand der geometrischen Definition die konkreten Formeln für φ_{N} und φ_{S}, sowie für die Umkehrabbildungen φ−1_{N} und φ−1_{S} her.

b) Zeigen Sie: Die Abbildungen φ_{S} ∘φ−1_{N} : ℝ^{2}\{0} → ℝ^{2}\{0} und φ_{N} ∘φ−1_{S} : ℝ^{2}\{0} → ℝ^{2}\{0}

sind (reelle) C^{∞}-Diffeomorphismen, jedoch (als Abbildungen auf ℂ\{0}) nicht holomorph.

c) Eine bijektive, in beiden Richtungen holomorphe Abbildung heißt biholomorph. Zeigen Sie:

\overline{φ}_{S} ∘ φ−1_{N} : ℂ \ \{0\} → ℂ \ \{0\} und φ_{N} ∘ (\overline{φ}_{S})^{−1} : ℂ \ \{0\} → ℂ \ \{0\} sind biholomorph.

Anmerkung: 𝕊^{2} ist Hausdorff mit abzählbarer Basis und lokal homöomorph zu ℂ, mit dem komplexen Atlas \{φ_{N} , \overline{φ}_{S}\} also eine komplexe 1-dim. Mannigfaltigkeit, eine Riemannsche Fläche.

Aufgabe 4 (Potenzreihen: Konvergenz & Beispiel einer Lückenreihe)

a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius der Potenzreihe ∑_{n=1}^{∞}(n sinh \frac{1}{n})^{n}z^{n}.

b) Zeigen Sie: Die Potenzreihe ∑_{n=1}^{∞} z^{n!} hat den Konvergenzradius 1 und die durch sie dargestellte holomorphe Funktion auf B_{1} = {z ∈ ℂ : |z| < 1} läßt sich auf kein Gebiet Ω mit B_{1} ⊊ Ω holomorph fortsetzen.

Anmerkung: Der sinus hyperbolicus ist gegeben durch sinh x = \frac{e^{x}−e^{−x}}{2} .

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 06.05.2008, bis 9.15 Uhr.