Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 3 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 06. Mai 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Zusammenhängende und wegzusammenhängende Mengen)

a) Zeigen Sie: Jeder wegweise zusammenhängende topologische Raum ist zusammenhängend. Weisen Sie dazu nach, daß [0, 1] zusammenhängend ist und folgern Sie daraus die Aussage.

b) Untersuchen Sie, ob die folgenden Teilmengen von ℂ (mit der induzierten Topologie) wegweise zusammenhängend, bzw. zusammenhängend sind:

i) M_{1} := {z ∈ ℂ : Im z oder Re z ist irrational}, ii) M_{2} := \{(1 − \frac{1}{φ}) e^{iφ} : φ ∈ [1, ∞)\} ∪ \{z ∈ ℂ : |z| = 1\}.

Aufgabe 2 (Konstante holomorphe Funktionen)

Sei Ω ⊂ ℂ ein Gebiet, f : Ω → ℂ holomorph. Zeigen Sie, daß folgende Aussagen äquivalent sind:

i) f̄ ist holomorph in Ω ;  ii) f ist konstant in Ω ;  iii) |f| ist konstant in Ω ;

iv) arg f ist konstant in Ω ; v) Re f ist konstant in Ω ; vi) Im f ist konstant in Ω .

Aufgabe 3 (Umkehrsatz & Anwendung auf den Logarithmus)

Für holomorphe C^{1}-Funktionen f : Ω → ℂ mit Ω ⊂ ℂ offen gilt die folgende komplexe Variante des Satzes über implizite Funktionen: Gilt f′(z_{0}) ≠ 0, so existiert eine offene Umgebung U von z_{0}, so daß V := f(U) offene Umgebung von w_{0} := f(z_{0}) und f : U → V biholomorph ist.

a) Beweisen Sie voranstehenden Satz mit Hilfe des Satzes über inverse Funktionen aus der reellen Analysis. Zeigen Sie ferner (f^{−1})′(w_{0}) = \frac{1}{f′(z_{0})}.

b) i) Sei z ∈ ℂ \ {0}. Ein w ∈ ℂ mit e^{w} = z heißt Logarithmus von z. Zeigen Sie: Jeder

Logarithmus von z ist von der Form w = log |z| + i arg z. ii) Welche Ableitung muß eine lokale Umkehrabbildung der Exponentialfunktion haben? iii) Zeigen Sie: Log: \{x + iy ∈ ℂ : x > 0\} → ℂ, Log(x + iy) := \frac{1}{2} log(x^{2} + y^{2}) + i arctan \frac{y}{x} definiert eine auf ihrem Definitionsbereich holomorphe Logarithmusfunktion.

Anmerkung: Die Funktion log bezeichne hierbei jeweils den gewohnten reellen Logarithmus.

Aufgabe 4 (Fundamentalsatz der Algebra)

Beweisen Sie: Jedes nichtkonstante Polynom hat in ℂ wenigstens eine Nullstelle. Folgen Sie dabei nachstehender Argumentation:

- Sei P : ℂ → ℂ nichtkonstantes Polynom. Setze P durch P (∞) := ∞ stetig auf ℂ̂ fort.

- Angenommen P besitzt keine Nullstelle. Dann definiert 1/P : ℂ̂ → ℂ eine stetige Funktion.

- Für jedes z ∈ ℂ\{0} wird λz mit λ := sup{μ ≥ 0 : μz ∈ 1/P (ℂ̂)} durch 1/P angenommen.

- In keinem solchen Punkt λz ist 1/P lokal invertierbar - dies führt auf einen Widerspruch.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 20.05.2008, bis 9.15 Uhr.