Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 4 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 20. Mai 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Integration mit Ausnahmepunkten auf dem Rand)

Sei Ω ⊂ ℂ offen und f : Ω → ℂ eine Abbildung, die in Ω \ {a_{1}, …, a_{r}} holomorph sei.

a) Ist f stetig in den a_{i}, so gilt ∫_{∂R} f(ζ) dζ = 0 für jedes Rechteck R̄ ⊂ Ω - selbst wenn a_{i} ∈ ∂R.

b) Anstelle von Stetigkeit sei nunmehr lediglich lim_{z→a_{i}}(z − a_{i})^{2}f(z) = 0 vorausgesetzt. Zeigen Sie, daß im Fall a_{i} ∈ ∂R die Aussage aus Teil a) im Allgemeinen nicht mehr gilt.

Aufgabe 2 (Integration über geschlossene Wege)

a) Es sei Ω := ℂ \ [0, 1] und f : Ω → ℂ, f(z) = \frac{1}{z(z−1)}. Zeigen Sie, daß ∫_{γ} f(ζ) dζ = 0 für jeden geschlossenen Weg γ gilt.

b) Seien U, V ⊂ ℂ Gebiete und h : U ∪ V → ℂ stetig. Für jeden geschlossenen Weg γ in U bzw. in V gelte ∫_{γ} h(ζ) dζ = 0. Zeigen Sie: Ist U ∩ V zusammenhängend, so gilt ∫_{γ} h(ζ) dζ = 0 für jeden geschlossenen Weg γ in U ∪ V.

Aufgabe 3 (Trigonometrische & hyperbolische Funktionen)

a) Zeigen Sie jeweils Existenz, sowie Eindeutigkeit einer auf ganz ℂ zweimal komplex differenzierbaren C^{2}-Funktion f : ℂ → ℂ, die das jeweilige Anfangswertproblem in i) bzw. ii) löst:

i) f′′ + f = 0 mit f(0) = 1, f′(0) = 0 (f heißt cosinus);

ii) f′′ − f = 0 mit f(0) = 0, f′(0) = 1 (f heißt sinus hyperbolicus).

b) Ein w ∈ ℂ mit cos w = z heißt arcus cosinus von z. Drücken Sie w mit Hilfe eines komplexen Logarithmus aus. Welche Ableitung muß eine lokale Umkehrabbildung des cosinus haben?

Anmerkung: Als bekannt aus der reellen Analysis sei vorausgesetzt: Für 0 ∈ I = (t_{1}, t_{2}), a, b ∈ ℝ besitzt das Anfangswertproblem g′′+g = 0 auf I mit g(0) = a, g′(0) = b genau eine Lösung g ∈ C^{2}(I).

Aufgabe 4 (Fibonacci-Reihe)

Die Fibonacci-Zahlen sind rekursiv definiert durch f_{0} := 0, f_{1} := 1, f_{n} := f_{n−1} + f_{n−2} für n ≥ 2. Sei f : B_{r} → ℂ, f(z) = ∑_{n=0}^{∞} f_{n}z^{n}. Dabei bezeichne r den Konvergenzradius der Reihe.

a) Bestimmen Sie den Konvergenzradius r.

b) Finden Sie z_{0}, z_{1} ∈ ℂ \ B_{r} und eine holomorphe Abbildung h : ℂ \ {z_{0}, z_{1}} → ℂ mit h|B_{r} = f.

c) Gilt ∫_{γ} h(ζ) dζ = 0 für jeden geschlossenen Weg γ (vgl. Aufgabe 2 a) ) ?

Anmerkung: Die Abbildung h ist eindeutig bestimmt, ein Beweis jedoch hierfür ist nicht verlangt. Zu ihrer Bestimmung kann der Ansatz f_{n} = σ(θ^{n}−(1− θ)^{n}) mit geeigneten σ, θ hilfreich sein.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 27.05.2008, bis 9.15 Uhr.