Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 5 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 27. Mai 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Höhere Ableitungen mittels Parameterdifferentiation)

Sei f : Ω → ℂ holomorph und B_{r} ⊂⊂ Ω eine Kreisscheibe. Folgern Sie mittels Parameterdifferentiation direkt aus der Integralformel von Cauchy für jedes z ∈ B_{r} und jedes n ∈ ℕ die Formel

f^{(n)}(z) = \frac{n!}{2πi} ∫_{∂B_{r}} \frac{f(ζ)}{(ζ − z)^{n+1}} dζ.

Aufgabe 2 (Verallgemeinerter Satz von Liouville)

Es sei f : ℂ → ℂ eine ganze Funktion. Für ein α ≥ 0 gelte überdies

lim sup_{z→∞} \frac{|f(z)|}{|z|^{α}} < ∞.

Zeigen Sie, daß f dann ein Polynom vom Grad n ≤ [α] ist, wobei [α] := max{n ∈ ℕ_{0} : n ≤ α}.

Aufgabe 3 (Transformationssatz für Potenzreihen)

Sei z_{0} ∈ ℂ und ∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n} eine Potenzreihe mit Konvergenzradius r > 0. Zeigen Sie: Ist z_{1} ∈ B_{r}(z_{0}), dann gilt zumindest für alle z mit |z − z_{1}| < r − |z_{1} − z_{0}| die Gleichung

∑_{n=0}^{∞} c_{n}(z − z_{0})^{n} = ∑_{k=0}^{∞} ζ_{k}(z − z_{1})^{k} mit ζ_{k} := ∑_{n=k}^{∞} \binom{n}{k}c_{n}(z_{1} − z_{0})^{n−k}.

Anmerkung: Ist r = ∞, so sei r − |z_{1} − z_{0}| ebenfalls = ∞.

Aufgabe 4 (Fresnel-Integrale)

a) Beweisen Sie für jedes a ∈ ℝ mit |a| ≤ 1 die folgende Formel:

∫_{0}^{∞} e^{−(1+ia)^{2}t^{2}}dt = \frac{1}{2} \frac{1 − ia}{1 + a^{2}} \sqrt{π}.

Integrieren Sie dazu f(z) = e^{−z^{2}} entlang γ = γ_{1} + γ_{2} + γ_{3}, wobei γ_{1} die Strecke von 0 nach r (für r > 0) bezeichne, γ_{2} die Strecke von r nach r(1 + ai), sowie γ_{3} die von r(1 + ai) nach 0.

b) Folgern Sie nun:

∫_{0}^{∞} cos(t^{2}) dt = ∫_{0}^{∞} sin(t^{2}) dt = \frac{1}{2}\sqrt{\frac{π}{2}} .

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 03.06.2008, bis 9.15 Uhr.