Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 6 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 03. Juni 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Untersuchung auf Holomorphie im Ursprung)

Es bezeichne Log: ℂ \ ℝ_{≤0} → ℂ den Hauptzweig des Logarithmus, das heißt −π < Im (Log z) < π für jedes z ∈ ℂ \ ℝ_{≤0} (vgl. Serie 3, Aufgabe 3). Die Funktion f : ℂ → ℂ sei gegeben durch

f(z) = \{z^{2} sin[z̄ + e^{−1/z^{3}}cos(\frac{1}{z} Log(\frac{z+2|Re z|}{|z|^{2}}))] , falls z ≠ 0, 0 , falls z = 0.

Untersuchen Sie, ob f in einer Umgebung von z = 0 holomorph ist.

Aufgabe 2 (Eigenschaften der Bildmenge holomorpher Funktionen)

a) Sei f eine nichtkonstante ganze Funktion, ε > 0, sowie M := {z ∈ ℂ : |f(z)| < ε}. Zeigen Sie:

i) M ist nicht leer. ii) f(ℂ) liegt dicht in ℂ. iii) Es gilt f(ℂ) ∩ ℝ ≠ ∅, f(ℂ) ∩ i ℝ ≠ ∅, sowie f(ℂ) ∩ ∂B_{1}(0) ≠ ∅.

b) Sei Ω ⊂ ℂ ein Gebiet und h : Ω → ℂ holomorph. Für alle z ∈ Ω gelte:

Ist h(z) ∈ ℂ \ ℝ, so ist \frac{Re h(z)}{Im h(z)} ∈ ℚ.

Zeigen Sie, daß h konstant ist.

Anmerkung: Folgern Sie a) ii) direkt aus a) i) ohne Verwendung der Aussage in Aufgabe 3 a).

Aufgabe 3 (Ganze transzendente Funktionen & Polynome)

a) Eine ganze Funktion, die kein Polynom ist, heißt ganze transzendente Funktion. Zeigen Sie: Ist f eine solche, so liegt für jedes r ≥ 0 selbst noch die Menge f(ℂ \ B_{r}(0)) dicht in ℂ.

b) Es sei f : ℂ → ℂ eine ganze Funktion. Für ein β ≥ 0 gelte überdies

lim inf_{z→∞} \frac{|f(z)|}{|z|^{β}} > 0.

Zeigen Sie, daß f dann ein Polynom vom Grad n ≥ ⌈β⌉ ist, wobei ⌈β⌉ := min{n ∈ ℕ_{0} : n ≥ β}.

Anmerkung: Stärker als a) gilt sogar ℂ \ {z_{0}} ⊂ f(ℂ \ B_{r}(0)) für ein z_{0} ∈ ℂ (Satz von Picard); z.B. z_{0} = 0 für f(z)= e^{z} oder ℂ ⊂ g(ℂ \ B_{r}(0)) für g(z) = cos z. Zu Teil b) vgl. Serie 5, Aufgabe 2.

Aufgabe 4 (Fortsetzbarkeit in einem Punkt und auf der Kreisscheibe)

Sei f : B_{1}(0) → ℂ holomorph. Ferner gebe es ein n′ ∈ ℕ_{0} mit f^{(n)}(0) ∈ ℝ_{≥0} für alle n ≥ n′.

Zeigen Sie: Ist f in einer Umgebung von z = 1 holomorph fortsetzbar, so ist f auch auf B_{r}(0) für ein r > 1 holomorph fortsetzbar.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 10.06.2008, bis 9.15 Uhr.