Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 7 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 10. Juni 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Zum Wirtingerkalkül)

a) Seien U, V ⊂ ℂ offen und f, g : U → ℂ, h : V → ℂ reell differenzierbar. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln für die Wirtinger-Ableitungen:

i) \frac{∂f}{∂z} = \frac{\overline{∂\overline{f}}}{∂z̄}, \frac{∂f}{∂z̄} = \frac{\overline{∂\overline{f}}}{∂z}. ii) Produktregeln: \frac{∂(fg)}{∂z} = \frac{∂f}{∂z} g + f \frac{∂g}{∂z}, \frac{∂(fg)}{∂z̄} = \frac{∂f}{∂z̄}g + f \frac{∂g}{∂z̄}. iii) Gilt g(U) ⊂ V, so gelten für alle ζ ∈ U (mit w als Variabler in V) folgende Kettenregeln:

\frac{∂(h∘g)}{∂z}(ζ) = \frac{∂h}{∂w}(g(ζ))\frac{∂g}{∂z} (ζ) + \frac{∂h}{∂\overline{w}}(g(ζ))\frac{∂\overline{g}}{∂z} (ζ), \frac{∂(h∘g)}{∂z̄}(ζ) = \frac{∂h}{∂w}(g(ζ))\frac{∂g}{∂z̄}(ζ) + \frac{∂h}{∂\overline{w}}(g(ζ))\frac{∂\overline{g}}{∂z̄}(ζ).

b) Zeigen Sie mit Hilfe des Wirtingerkalküls: Sind f_{1}, f_{2}, …, f_{n} holomorph in einem Gebiet Ω ⊂ ℂ und ist die Funktion |f_{1}(z)|^{2} + |f_{2}(z)|^{2} + … + |f_{n}(z)|^{2} konstant in Ω, so ist bereits jede der Funktionen f_{1}, f_{2}, …, f_{n} konstant in Ω.

Aufgabe 2 (Schwarzsches Spiegelungsprinzip)

Es sei Ω ⊂ ℂ ein zur reellen Achse symmetrisch gelegenes Gebiet (d.h. mit z ∈ Ω ist auch z̄ ∈ Ω). Es sei g : {z ∈ Ω : Im z ≥ 0} → ℂ eine stetige Abbildung, die auf {z ∈ Ω : Im z > 0} holomorph und auf {z ∈ Ω : Im z = 0} reellwertig sei. Zeigen Sie, daß durch

ĝ(z) = \{g(z) , falls Im z ≥ 0, \overline{g(z̄)} , falls Im z < 0

eine auf ganz Ω holomorphe Funktion definiert wird.

Aufgabe 3 (Konvexe-Hülleneigenschaft holomorpher Funktionen)

Sei Ω ⊂ ℂ ein beschränktes Gebiet und f : \overline{Ω} → ℂ eine stetige, auf Ω holomorphe Abbildung. Zeigen Sie, daß f(Ω) in der konvexen Hülle der Menge f(∂\overline{Ω}) enthalten ist.

Aufgabe 4 (Harnackscher Konvergenzsatz)

a) i) Sei P_{ϱ}(ζ, z) := \frac{1}{2π} \frac{ϱ^{2}−|z|^{2}}{|ζ−z|^{2}} (= Poissonkern zu B_{ϱ}(0)). Zeigen Sie für |z| < ϱ die Ungleichung

\frac{1}{2π} \frac{ϱ − |z|}{ϱ + |z|} ≤ P_{ϱ}(ζ, z) ≤ \frac{1}{2π} \frac{ϱ + |z|}{ϱ − |z|} .

ii) Folgern Sie aus Teil i): Ist f stetig auf \overline{B_{ϱ}(0)}, harmonisch auf B_{ϱ}(0) und nichtnegativ, dann gilt für |z| ≤ r < ϱ die Harnack-Ungleichung

\frac{ϱ − r}{ϱ + r} f(0) ≤ f(z) ≤ \frac{ϱ + r}{ϱ − r} f(0) .

b) Es sei f_{1} ≤ f_{2} ≤ … eine monotone Folge harmonischer Funktionen auf einem Gebiet Ω ⊂ ℂ. Es gebe ein z_{0} ∈ Ω und ein M ∈ ℝ mit f_{n}(z_{0}) ≤ M für alle n. Zeigen Sie: Die Folge f_{n} konvergiert lokal gleichmäßig gegen eine harmonische Funktion f.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 17.06.2008, bis 9.15 Uhr.