Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 8 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 17. Juni 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Rand einer 1-Kette)

Sei Ω ⊂ ℂ offen und Γ eine 1-Kette in Ω. Mit ∂ Γ sei der Rand von Γ bezeichnet. Zeigen Sie:

a) Ist Γ = ∑_{j=1}^{k} n_{j} [γ_{j}] mit γ_{j} : [a_{j}, b_{j}] → Ω, so gilt

∂ Γ = ∑_{j=1}^{k} n_{j} ( [γ_{j}(b_{j})] − [γ_{j}(a_{j})] ) ,

insbesondere ist ∂Γ eine 0-Kette in Ω.

b) Γ ist genau dann geschlossen, wenn jeder Punkt aus Ω (mit Vielfachheit) genauso oft als Anfangs- wie als Endpunkt der Wege einer gegebenen Darstellung vorkommt. Diese Eigenschaft ist unabhängig von der Wahl der Darstellung.

Aufgabe 2 (Spezielle Darstellung von 1-Ketten)

Sei Ω ⊂ ℂ offen, Γ eine 1-Kette in Ω, sowie z_{0} ∈ Ω \ spt Γ. Zeigen Sie: Γ besitzt eine Darstellung Γ = ∑_{j=1}^{k} n_{j} [γ_{j}] mit z_{0} ∉ spur γ_{j} für alle j.

Aufgabe 3 (Spiegelungsprinzip für harmonische Funktionen)

Es sei Ω ⊂ ℂ ein zur reellen Achse symmetrisch gelegenes Gebiet (vgl. Serie 7, Aufgabe 2). Es sei u : {z ∈ Ω : Im z ≥ 0} → ℝ eine stetige Abbildung, die auf {z ∈ Ω : Im z > 0} harmonisch und auf {z ∈ Ω : Im z = 0} identisch 0 sei. Zeigen Sie, daß durch

û(z) = { u(z) , falls Im z ≥ 0, − u(z̄) , falls Im z < 0

eine auf ganz Ω harmonische Funktion definiert wird.

Aufgabe 4 (Klassisches Maximumprinzip)

Sei Ω ⊂ ℝ^{2} offen und beschränkt, sowie u ∈ C^{2}(Ω) ∩ C^{0}(\overline{Ω}). Zeigen Sie: Ist u subharmonisch in Ω, d.h. gilt Δu ≥ 0 in Ω, so folgt

sup_{Ω} u ≤ sup_{∂Ω} u.

Zeigen Sie dazu die Aussage zunächst unter der Annahme Δu > 0. Folgern Sie daraus anschließend den Fall Δu ≥ 0, indem Sie eine Funktion u + εφ mit geeigneter Wahl von φ betrachten.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 24.06.2008, bis 9.15 Uhr.