Übungsaufgaben zur Funktionentheorie SS 2008, Serie 9 Prof. Dr. Ernst Kuwert, Patrick Breuning 24. Juni 2008 http://home.mathematik.uni-freiburg.de/analysis/SS08/funktheo.html

Aufgabe 1 (Einfach zusammenhängende Mengen)

a) Vermöge stereographischer Projektion können wir ℂ̂ mit 𝕊^{2} identifizieren. Fertigen Sie eine möglichst genaue Skizze der Menge Ω := {z ∈ ℂ : |Re z| < 1} als Teilmenge von 𝕊^{2} an und weisen Sie nach, daß Ω einfach zusammenhängend ist (vgl. Vorlesung, Bsp. 3. nach Def. 5.6).

b) Untersuchen Sie, ob das Komplement der logarithmischen Spirale, das heißt ob die Menge ℂ^{∗} \ {z = e^{t(1+i)} : t ∈ ℝ} mit ℂ^{∗} = ℂ \ {0} einfach zusammenhängend ist.

c) Konstruieren Sie ein einfach zusammenhängendes Gebiet Ω ⊂ ℂ, so daß ℂ̂ \ Ω notwendigerweise genau eine, die Menge ℂ \ Ω jedoch unendlich viele Zusammenhangskomponenten hat.

Aufgabe 2 (Holomorphe Zweige des Logarithmus und der n-ten Wurzel)

Sei Ω ⊂ ℂ einfach zusammenhängendes Gebiet und f : Ω → ℂ holomorph ohne Nullstellen. Zeigen Sie: a) Es existiert eine holomorphe Funktion g : Ω → ℂ mit exp(g(z)) = f(z) für alle z ∈ Ω.

b) Für jedes n ∈ ℕ existiert eine holomorphe Funktion h : Ω → ℂ mit (h(z))^{n} = f(z) für alle z ∈ Ω.

Aufgabe 3 (Pullback von k-Formen)

Sei Ω ⊂ ℂ offen. Für 1-Formen α, β auf Ω ist α∧β : Ω → ⋀^{2}(ℝ^{2}, ℂ), (α∧β)(v, w) := α(v)β(w)−α(w)β(v). Die äußere Ableitung einer 1-Form α = a dx + b dy ist die 2-Form dα := da ∧ dx + db ∧ dy.

Seien Ω, Ω′ ⊂ ℂ offen und f ∈ C^{1}(Ω, Ω′), f = u + iv. Der Pullback der 1-Form α = a dx + b dy auf Ω′ unter f ist die 1-Form f^{∗}α := (a ∘ f) du + (b ∘ f) dv auf Ω. Der Pullback der 2-Form ϕ = φ dx ∧ dy auf Ω′ unter f ist die 2-Form f^{∗}ϕ := (φ ∘ f) du ∧ dv auf Ω. Beweisen Sie folg. Rechenregeln für den Pullback:

i) f^{∗}(λω + μη) = λf^{∗}ω + μf^{∗}η für λ, μ ∈ ℂ und ω, η 1-Formen oder ω, η 2-Formen auf Ω′.

ii) f^{∗}(ω ∧ η) = (f^{∗}ω) ∧ (f^{∗}η) für 1-Formen ω, η auf Ω′.

iii) (g ∘ f)^{∗}ψ = f^{∗}(g^{∗}ψ) für f ∈ C^{1}(Ω, Ω′), g ∈ C^{1}(Ω′, Ω′′) und ψ eine 1- oder 2-Form auf Ω′′.

iv) d(f^{∗}η) = f^{∗}dη für f ∈ C^{2}(Ω, Ω′) und η eine 1-Form auf Ω′.

Aufgabe 4 (Der Begriff der 2-Kette)

Sei Ω ⊂ ℂ offen und ϕ : Ω → ⋀^{2}(ℝ^{2}, ℂ), ϕ = φ dx∧dy, eine 2-Form. Ist E ⊂ Ω meßbar und φ auf E integrierbar, so setzen wir ∫_{E} ϕ := ∫_{E} φ(x, y) dx dy. Ferner seien E^{1}(Ω) := {α = a dx+b dy : a, b ∈ C^{∞}(Ω, ℂ)} und E^{2}(Ω) := {ϕ = φ dx ∧ dy : φ ∈ C^{∞}(Ω, ℂ)} die Räume der 1- und der 2-Formen auf Ω.

Wir können eine Abbildung f ∈ C^{2}(R, Ω) auf einem Rechteck R = [a_{1}, b_{1}]×[a_{2}, b_{2}] ⊂ ℂ (d.h. f ∈ C^{2} auf einer offenen Umgebung von R) als eine Linearform auf E^{2}(Ω) auffassen: [f] : E^{2}(Ω) → ℂ, ϕ ↦ ∫_{R} f^{∗}ϕ.

Eine Linearform Λ : E^{2}(Ω) → ℂ heißt 2-Kette, wenn es f_{j} ∈ C^{2}(R_{j}, Ω) auf R_{j} = [a_{1,j}, b_{1,j}] × [a_{2,j}, b_{2,j}] und n_{j} ∈ ℤ gibt mit Λ = ∑_{j=1}^{k} n_{j} [f_{j}], d.h. mit Λ(ϕ) = ∑_{j=1}^{k} n_{j} ∫_{R_{j}} f_{j}^{∗}ϕ für alle ϕ ∈ E^{2}(Ω).

Der Rand einer 2-Kette Λ ist die Linearform ∂Λ : E^{1}(Ω) → ℂ, ∂Λ(α) := Λ(dα).

Zeigen Sie: Ist Λ eine 2-Kette in Ω, so ist ∂Λ eine 1-Kette in Ω. Leiten Sie dazu für gegebene Darstellung Λ = ∑_{j=1}^{k} n_{j} [f_{j}] von Λ eine konkrete Darstellung von ∂Λ als 1-Kette her.

Bitte schreiben Sie Ihren Namen sowie die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf jedes Lösungsblatt. Abgabe ist am Dienstag, dem 01.07.2008, bis 9.15 Uhr.