Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 1 29. April 2003

1. Seien V ein endlich-dimensionaler euklidischer Vektorraum und L ∈ O(V) eine orthogonale Selbstabbildung von V. Zeigen Sie

(a) Ist M ⊆ V, so gilt (L(M))^{⊥} = L(M^{⊥}).

(b) Ist U ⊆ V ein Untervektorraum und L(U) = U, so gilt L(U^{⊥}) = U^{⊥}.

2. Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien v, w ∈ V ∖ {0}. Zeigen Sie:

∥v + w∥ = ∥v∥ + ∥w∥ ⟺ ∃r > 0: v = rw

3. Betrachten Sie C^{0}([0, 2π], ℝ) = {f: [0, 2π] → ℝ | f ist stetig} mit dem Skalarprodukt

⟨f, g⟩_{L^{2}} := ∫_{0}^{2π} f(x)g(x) dx .

Zeigen Sie: Für die Funktionen f_{k}, g_{k} ∈ C^{0}([0, 2π], ℝ), k ∈ ℕ ∖ {0}, die durch f_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} sin kx, g_{k}(x) = \frac{1}{\sqrt{π}} cos kx gegeben sind, gilt

⟨f_{k}, f_{k}⟩_{L^{2}} = ⟨g_{k}, g_{k}⟩_{L^{2}} = 1 für alle k ∈ ℕ ∖ {0}
⟨f_{k}, f_{j}⟩_{L^{2}} = ⟨g_{k}, g_{j}⟩_{L^{2}} = 0 für alle k, j ∈ ℕ ∖ {0}, k ≠ j
⟨f_{k}, g_{j}⟩_{L^{2}} = 0 für alle k, j ∈ ℕ ∖ {0}

4. Berechnen Sie den Abstand von v = (2, −1, 0, 1, 1) ∈ ℝ^{5} zu dem 3-dimensionalen Unterraum

U := {(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}) ∈ ℝ^{5} | x_{1} + 2x_{2} + 3x_{3} + x_{4} + x_{5} = 0, 2x_{1} − x_{3} + 2x_{4} = 0}

Abgabe: Donnerstag, 8. Mai in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/