Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 2 8. Mai 2003

1. Welche der folgenden Matrizen sind orthogonal? Welche liegen in SO(3)?

A = (\begin{matrix}0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , B = (\begin{matrix}sin φ & cos φ & 0 \\ − cos φ & sin φ & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}) , C = \frac{1}{3} (\begin{matrix}2 & 1 & 2 \\ −2 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & −2 \end{matrix}) , D = (\begin{matrix}1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

2. ℓ^{2}(ℕ) ist die Menge aller reellen Zahlenfolgen (a_{n})_{n∈ℕ}, für die ∑_{n=0}^{∞} a_{n}^{2} < ∞ gilt. Zeigen Sie:

(a) Sind (a_{n})_{n∈ℕ}, (b_{n})_{n∈ℕ} ∈ ℓ^{2}(ℕ), so konvergiert die Reihe ∑_{n=0}^{∞} a_{n}b_{n} absolut.

Hinweis: |a_{n}b_{n}| ≤ a_{n}^{2} + b_{n}^{2}.

(b) ℓ^{2}(ℕ) ist ein Untervektorraum des ℝ-Vektorraums aller reellen Zahlenfolgen und

⟨(a_{n})_{n∈ℕ}, (b_{n})_{n∈ℕ}⟩ := ∑_{n=0}^{∞} a_{n}b_{n}

ist ein Skalarprodukt auf ℓ^{2}(ℕ).

3. Sei ℓ^{2}(ℕ) der Vektorraum aus Aufgabe 2 mit dem dort definierten Skalarprodukt.

Für i ∈ ℕ sei e^{i} ∈ ℓ^{2}(ℕ) die Folge, die definiert ist durch

(e^{i})_{n} = \begin{cases}1 & falls n = i \\ 0 & sonst \end{cases}

und U := span{e^{i} | i ∈ ℕ} ⊆ ℓ^{2}(ℕ). Zeigen Sie:

(a) {e^{i} | i ∈ ℕ} ist ein Orthonormalsystem.

(b) Eine reelle Zahlenfolge (a_{n})_{n∈ℕ} liegt genau dann in U, wenn es ein n_{0} ∈ ℕ gibt, so dass a_{n} = 0 für alle n ≥ n_{0}. Insbesondere ist U ⊊ ℓ^{2}(ℕ).

(c) U^{⊥} = {0}. Insbesondere gilt nicht U ⊕ U^{⊥} = ℓ^{2}(ℕ).

4. Wir betrachten ℝ^{n+1} mit dem Standardskalarprodukt. Sei l ∈ Hom(ℝ^{n}, ℝ) eine Linearform auf ℝ^{n} und L: ℝ^{n} → ℝ^{n+1} definiert durch L(x) = (x, l(x)).

Berechnen Sie für n = 2 und für n = 3 das Volumen des Parallelotops

L([0, 1]^{n}) = P ((e_{1}, l(e_{1})), …, (e_{n}, l(e_{n}))) ⊆ im L ⊆ ℝ^{n+1}

mittels der Zahlen l_{1} := l(e_{1}), …, l_{n} := l(e_{n}).

Abgabe: Donnerstag, 15. Mai in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/