Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 3 15. Mai 2003

1. Sei V ein 2-dimensionaler euklidischer Vektorraum, sei L ∈ SO(V) und sei G = (v_{1}, v_{2}) eine geordnete ONB von V. Für φ ∈ ℝ bezeichne A_{φ} die Matrix A_{φ} := ( \begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix} ). Zeigen Sie:

(a) Es existiert genau ein φ ∈ [0, 2π) mit Mat_{G}^{G}(L) = A_{φ}.

(b) Ist \overline{G} eine weitere ONB von V mit der gleichen Orientierung wie G, so gilt Mat\overline{G} ; \overline{G}(L) = Mat_{G}^{G}(L) = A_{φ}. (Somit ist einem orientierten 2-dimensionalen euklidischen Vektorraum der Drehwinkel φ ∈ [0, 2π) eines L ∈ SO(V) definiert.)

(c) Bezüglich der geordneten ONB G̃:= (v_{1}, −v_{2}) gilt MatG̃ ; G̃(L) = A_{−φ}.

2. Betrachten Sie den in Aufgabe 2, Blatt 2, definierten Vektorraum ℓ^{2}(ℕ) mit dem dort definierten Skalarprodukt. Die Abbildung L: ℓ^{2}(ℕ) → ℓ^{2}(ℕ) sei definiert durch L((a_{n})_{n∈ℕ}) = (b_{n})_{n∈ℕ} mit b_{0} := 0 und b_{n+1} := a_{n} für alle n ∈ ℕ. Zeigen Sie: Die Abbildung L ist orthogonal, aber nicht surjektiv.

3. Sei A ∈ K^{n×n} eine Blockmatrix, d. h., es existieren ein k ∈ {1, …, n − 1} und Matrizen

A_{k} ∈ K^{k×k}, A_{n−k} ∈ K^{(n−k)×(n−k)}, so dass A = (\begin{matrix}A_{k} & 0 \\ 0 & A_{n−k} \end{matrix}). Zeigen Sie:

(a) det A = det A_{k} · det A_{n−k}

(b) Die Menge der Eigenwerte von A ist die Vereinigung der Mengen der Eigenwerte von A_{k} und A_{n−k}.

4. Direkte Summe mit endlich vielen Summanden. Sind U_{1}, …, U_{k} Unterräume des Vektorraums V, so heißt V die direkte Summe der U_{1}, …, U_{k} (geschrieben V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{k} =

⨁_{i=1}^{k} U_{i}), falls gilt:

(i) V = span ( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) ∀i ∈ {1, …, k}: U_{i} ∩ span ( ⋃_{j=1,j≠i}^{k} U_{j}) = {0}

Für i = 1, …, k sei B_{i} eine Basis von U_{i}. Zeigen Sie:

(a) V ist direkte Summe von U_{1}, …, U_{k} ⟺ B_{i} ∩ B_{j} = ∅ für alle i, j mit i ≠ j und B_{1} ∪ ⋯ ∪ B_{k} ist Basis von V. (Vgl. den Beweis von (3.21)(ii), evtl. Induktion!)

(b) Ist V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{k}, so existieren zu jedem v ∈ V eindeutig bestimmte u_{1} ∈ U_{1}, …, u_{k} ∈ U_{k} mit v = u_{1} + ⋯ + u_{k}.

Abgabe: Donnerstag, 22. Mai in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/