Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 4 22. Mai 2003

1. Für A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ ℝ^{n×n} ist die Spur von A definiert durch spur A := ∑_{i=1}^{n} a_{ii} (die

Summe der Diagonalelemente).

(a) Zeigen Sie: Für alle A, B ∈ ℝ^{n×n} gilt spur(AB) = spur(BA).

(b) Zeigen Sie: Für alle A ∈ ℝ^{n×n}, B ∈ GL(n, ℝ) gilt spur(B^{−1}AB) = spur A. Schließen Sie daraus, dass für L ∈ End(V), V ein endlich-dimensionaler Vektorraum, die Spur von L durch die Festsetzung spur L := spur ( Mat_{G}^{G}(L)), wobei G irgendeine geordnete Basis von V ist, wohldefiniert ist.

(c) Sei L ∈ SO(ℝ^{3}) eine Drehung um den Winkel φ ∈ (0, π) (um eine Drehachse). Zeigen Sie: spur L = 1 + 2 cos φ. Hinweis: Normalform.

2. Sei L ∈ SO(ℝ^{3}) bezüglich der Standardbasis gegeben durch die Matrix

A = \frac{1}{3} (\begin{matrix}−2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \\ −1 & 2 & −2 \end{matrix}) .

Bestimmen Sie die Drehachse von L (indem Sie einen Eigenvektor zum Eigenwert 1 finden) und den Drehwinkel φ ∈ (0, π) (bzw. seinen Kosinus, mit Hilfe von Aufgabe 1).

3. Sei L ∈ O(V) und G eine geordnete Basis von V, so dass A := Mat_{G}^{G}(L) Normalform hat mit den Drehwinkeln φ_{1}, …, φ_{k} (vgl. (6.24)′). Zeigen Sie:

(a) Das charakteristische Polynom von L hat die Gestalt

P_{L}(λ) = (−1)^{n} ∏_{j=1}^{k}(λ^{2} − 2 cos φ_{j} λ + 1)(λ + 1)^{dim U_{−}}(λ − 1)^{dim U_{+}}

(b) Die komplexen Zahlen e^{±iφ_{j}}, j = 1, …, k, sind Nullstellen von P_{L}(λ).

4. Betrachten Sie den in Anwesenheitsaufgabe 2 definierten Schiefkörper der Quaternionen und verwenden Sie die dort gezeigten Aussagen. Zeigen Sie:

(a) S^{3} := {x ∈ ℍ | ∥x∥ = 1} mit der Multiplikation ist eine Untergruppe von (ℍ∖{0}, ·).

(b) Ist q ∈ S^{3}, so ist die Abbildung f_{q}: x ↦ qx\overline{q} orthogonal. Hinweis: Wegen 2⟨x, y⟩ = ∥x + y∥^{2} − ∥x∥^{2} − ∥y∥^{2} genügt es, zu zeigen ∥f_{q}(x)∥ = ∥x∥ für alle x ∈ ℍ.

(c) f_{q} bildet den Unterraum Im ℍ = {0} × ℝ^{3} auf sich ab. (Mit (b) folgt also F_{q} := f_{q}|_{Im ℍ} ∈ O(Im ℍ)).

(d) Sind p, q ∈ S^{3}, so ist F_{p·q} = F_{p} ∘ F_{q} und F_{−q} = F_{q}.

Abgabe: Dienstag, 3. Juni in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/