Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 5 3. Juni 2003

1. Betrachten Sie den ℝ^{4} mit dem Standardskalarprodukt und der üblichen Orientierung.

Berechnen Sie das Kreuzprodukt der drei Vektoren w_{1} := (1, 2, 1, 0), w_{2} := (0, −1, 0, 3), w_{3} := (1, 1, 1, 0) im ℝ^{4} und das (3-dimensionale) Volumen des Parallelotops P (w_{1}, w_{2}, w_{3}).

2. Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum, b ∈ B(V) eine Bilinearform auf V und G = (v_{1}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V.

(a) Berechnen Sie die Matrizen der Abbildungen λ(b), ρ(b): V → V^{∗} bezüglich der geordneten Basen G und G^{∗}.

(b) Die Matrix (b_{ij})_{1≤i,j≤n} ∈ K^{n×n} mit b_{ij} = b(v_{i}, v_{j}) heißt die Matrix von b bzgl. G. Zeigen Sie: Die Bilinearform b ist genau dann nicht ausgeartet, wenn die Determinante ihrer Matrix bzgl. G nicht null ist.

3. Koordinatentransformation im Vektorraum und seinem Dualraum. Sei V ein n-dimensio-naler K-Vektorraum und seien G = (v_{1}, …, v_{n}) und \overline{G} = (\overline{v}_{1}, …, \overline{v}_{n}) geordnete Basen von V. Zu v ∈ V seien v = ∑_{i=1}^{n} x_{i}v_{i} = ∑_{i=1}^{n} \overline{x}_{i}\overline{v}_{i} mit x_{i}, \overline{x}_{i} ∈ K für 1 ≤ i ≤ n die Darstellungen von v mittels G bzw. \overline{G}.

(a) Zeigen Sie: Ist A = (a_{ij})_{1≤i,j≤n} = Mat\overline{G} ; G(id_{V}), d.h., v_{j} = ∑_{i=1}^{n} a_{ij}\overline{v}_{i} für 1 ≤ j ≤ n, so gilt \overline{x}_{i} = ∑_{j=1}^{n} a_{ij}x_{j} für 1 ≤ i ≤ n.

(b) Es seien G^{∗} = (l_{1}, …, l_{n}) bzw. \overline{G}^{∗} = (\overline{l}_{1}, …, \overline{l}_{n}) die Dualbasen zu G bzw. \overline{G}. Berechnen Sie Mat_{G^{∗}}^{\overline{G}^{∗}}(id_{V^{∗}}) (in Abhängigkeit von A).

(c) Zu l ∈ V^{∗} seien l = ∑_{i=1}^{n} y_{i}l_{i} = ∑_{i=1}^{n} \overline{y}_{i}\overline{l}_{i} mit y_{i}, \overline{y}_{i} ∈ K für 1 ≤ i ≤ n die Darstellungen von l mittels G^{∗} bzw. \overline{G}^{∗}. Zeigen Sie: Ist B = (b_{ij})_{1≤i,j≤n} = (A^{−1})^{T}, so gilt \overline{y}_{i} = ∑_{j=1}^{n} b_{ij}y_{j} für 1 ≤ i ≤ n.

4. Ist g ∈ C^{0}([a, b], ℝ) (a < b), dann wird durch das Integral λ_{g}(f) := ∫_{a}^{b} f(x)g(x) dx eine Abbildung λ_{g}: C^{0}([a, b], ℝ) → ℝ definiert, die wegen der Rechenregeln für das Integral linear ist, also λ_{g} ∈ (C^{0}([a, b], ℝ))^{∗}.

(a) Beweisen Sie: Aus λ_{g} = λg̃ folgt g = g̃.

Hinweis: Es reicht den Fall g̃ = 0 zu betrachten (warum?). Wählen Sie dann f = g.

(b) Zu α ∈ [a, b] betrachtet man das Dirac-Funktional δ_{α}: C^{0}([a, b], ℝ) → ℝ, definiert durch δ_{α}(f) := f(α). Zeigen Sie, dass keine stetige Funktion g ∈ C^{0}([a, b], ℝ) existiert, so dass δ_{α} = λ_{g}. Hinweis: Zeigen Sie, dass die Annahme δ_{α}(f) = λ_{g}(f) für f(x) = (x − α)^{2}g(x) zu einem Widerspruch führt.

Abgabe: Dienstag, 17. Juni in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/