Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 6 17. Juni 2003

1. Für die Bezeichnungen und Definitionen vgl. Anwesenheitsaufgabe 1.

Sei (G, ·) eine Gruppe und H eine Untergruppe von G und sei π: G → G/H definiert durch π(g) = gH. Für g ∈ G ist gHg^{−1} := {ghg^{−1} | h ∈ H}.

Zeigen Sie, dass folgende zwei Aussagen äquivalent sind:

(i) Für alle g ∈ G gilt gHg^{−1} = H.

(ii) Es existiert eine Gruppenstruktur auf G/H, so dass π: G → G/H ein Gruppenhomomorphismus ist.

Untergruppen, die (i) erfüllen, heißen normale Untergruppen oder Normalteiler.

2. Es seien G_{1}, G_{2} Gruppen und h: G_{1} → G_{2} ein Gruppenhomomorphismus. Zu den Bezeichnungen vgl. Anwesenheitsaufgabe 1 und Aufgabe 1 oben. Zeigen Sie:

(a) ker h = {g ∈ G_{1} | h(g) = e} ist ein Normalteiler von G_{1}.

(b) Es existiert genau ein Gruppenhomomorphismus \overline{h}: G_{1}/ ker h → G_{2}, so dass \overline{h}∘π = h. Die Abbildung \overline{h} ist injektiv.

Eine Gruppe (G, ·) heißt zyklisch, falls es ein Element g ∈ G gibt, so dass G = {g^{n} | n ∈ ℤ}. Zeigen Sie:

(c) Ist (G, ·) eine zyklische Gruppe, so ist G entweder isomorph zu (ℤ, +) oder zu (ℤ_{p}, +) für ein p ∈ ℕ_{>0}. Anleitung: Die Abbildung n ∈ ℤ ↦ g^{n} ist ein surjektiver Gruppenhomomorphismus von (ℤ, +) auf (G, ·). Verwenden Sie Teil (b).

3. Sei K ein Körper. Zeigen Sie:

Der Ring K^{ℕ} der formalen Potenzreihen ist nullteilerfrei (d. h., aus f · g = 0 folgt f = 0 oder g = 0).

Hinweis: Betrachten Sie von f und g jeweils die erste von Null verschiedene Stelle.

4. (a) Teilen Sie das Polynom f_{1} := 2x^{7}+x^{6}−x^{4}+2x^{3}−x+1 ∈ ℝ[x] durch g_{1} := x^{2}−x+1 ∈ ℝ[x] mit Rest (d. h., finden Sie Polynome h_{1} und r_{1} ∈ ℝ[x], so dass f_{1} = g_{1} · h_{1} + r_{1} mit grad(r_{1}) < grad(g_{1})).

(b) Teilen Sie das Polynom f_{2} := x^{7} + x^{5} + x^{3} + 1 ∈ ℤ_{2}[x] durch g_{2} := x^{3} + x + 1 ∈ ℤ_{2}[x] mit Rest.

Abgabe: Donnerstag, 26. Juni in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/