Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 7 26. Juni 2003

1. Sei G = (v_{1}, …, v_{n}) eine geordnete Basis von V und λ ∈ K, und sei L ∈ End(V) definiert durch L(v_{i}) = λv_{i} + v_{i+1} für 1 ≤ i ≤ n − 1 und L(v_{n}) = λv_{n}.

(a) Geben Sie Mat_{G}^{G}(L) an.

(b) Berechnen Sie das charakteristische Polynom P_{L} von L und alle Eigenwerte und Eigenvektoren von L.

(c) Zeigen Sie, dass L, falls n > 1, nicht diagonalisierbar ist.

(d) Zeigen Sie: (L − λ id_{V})^{n} = 0 (∈ End(V)) und (L − λ id_{V})^{k} ≠ 0 für 0 ≤ k < n.

2. Betrachten Sie auf dem Schiefkörper ℍ der Quaternionen (vgl. Anwesenheitsaufgaben Blatt 4) die Abbildung f: ℍ → ℍ, f(x) = x^{2} + 1.

(a) Bestimmen Sie alle Nullstellen von f.

(Ergebnis: f(x) = 0 ⟺ x = ix_{2} +jx_{3} +kx_{4} mit x_{2}, x_{3}, x_{4} ∈ ℝ und x_{2}^{2} +x_{3}^{2} +x_{4}^{2} = 1. Insbesondere hat f unendlich viele Nullstellen.)

(b) Zeigen Sie: Es gibt kein y ∈ ℍ, so dass für alle x ∈ ℍ gilt x^{2} + 1 = (x + i)(x + y).

3. Sei dim V = n < ∞ und L ∈ End(V). Zeigen Sie:

(a) Ist p ∈ K[x] und ist λ ∈ K ein Eigenwert von L, dann ist p(λ) ein Eigenwert des Endomorphismus p(L).

(b) Ist L diagonalisierbar und ist P_{L} das charakteristische Polynom von L, dann gilt P_{L}(L) = 0.

4. Sei V der ℝ-Vektorraum der unendlich oft differenzierbaren, 2π-periodischen Funktionen f: ℝ → ℝ, und L ∈ End(V) sei definiert durch L(f) = f′′.

(a) Zeigen Sie: Die Funktionen f_{k}, definiert durch f_{k}(x) = cos(kx), k ∈ ℕ, sind Eigenvektoren von L. Berechnen Sie die zugehörigen Eigenwerte λ_{k} ∈ ℝ.

(b) Bestimmen Sie die Eigenräume E(λ_{k}) von L für alle k ∈ ℕ.

Anleitung: Lineare Algebra I, Blatt 9, Aufgabe 5.

(c) Zeigen Sie, dass L selbstadjungiert bezüglich des L^{2}-Skalarprodukts ⟨f, g⟩_{L^{2}} = ∫_{0}^{2π} f(x)g(x) dx auf V ist, d. h., dass für alle f, g ∈ V gilt ⟨L(f), g⟩_{L^{2}} = ⟨f, L(g)⟩_{L^{2}}. Anleitung: partielle Integration.

(d) Hier können Sie voraussetzen (ohne Beweis), dass es kein f ∈ V ∖ {0} gibt, so dass für alle k ∈ ℕ gilt ⟨f, cos(kx)⟩_{L^{2}} = 0 und ⟨f, sin(kx)⟩_{L^{2}} = 0. Zeigen Sie, dass {λ_{k} | k ∈ ℕ} die Menge aller Eigenwerte von L ist. Anleitung: Ist L selbstadjungiert und sind f und g Eigenvektoren von L zu verschiedenen Eigenwerten, so ist ⟨f, g⟩_{L^{2}} = 0 (Anwesenheitsaufgabe 2).

Abgabe: Donnerstag, 3. Juli in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/