Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 8 3. Juli 2003

1. Betrachten Sie die durch ∥v∥_{∞} := max_{1≤i≤n}|v_{i}| definierte Norm ∥ ∥_{∞} auf ℝ^{n} und die durch ∥(a_{ij})∥ := max_{1≤i≤n} ∑_{j=1}^{n}|a_{ij}| definiert Norm ∥ ∥ auf ℝ^{n×n}. Zeigen Sie:

(a) Für alle A ∈ ℝ^{n×n} und alle v ∈ ℝ^{n} gilt ∥Av∥_{∞} ≤ ∥A∥ ∥v∥_{∞}.

(b) Für jeden Eigenwert λ von A gilt |λ| ≤ ∥A∥.

2. Sei A = ( \begin{matrix}0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{matrix} ) ∈ ℂ^{3×3}.

Bestimmen Sie eine Matrix B ∈ ℂ^{3×3} und eine Diagonalmatrix D ∈ ℂ^{3×3}, so dass B^{−1}AB = D.

3. Sei dim V < ∞ und sei L ∈ End(V) diagonalisierbar und seien λ_{1}, …, λ_{s} die verschiedenen Eigenwerte von L. Zeigen Sie: Ist U ein L-invarianter Untervektorraum, so gilt

U = ⨁_{i=1}^{s} (U ∩ E(λ_{i})) .

(Dabei kann (U ∩ E(λ_{i})) = {0} sein für manche i.) Anleitung: Zeigen Sie der Reihe nach:

(a) E(λ_{1}) ∩ U = ker ((L − λ_{1} id_{V})|U)

(b) im ((L − λ_{1} id_{V})|U) ⊆ (E(λ_{2}) ⊕ ⋯ ⊕ E(λ_{s}))

(c) U = (E(λ_{1}) ∩ U) ⊕ ((E(λ_{2}) ⊕ ⋯ ⊕ E(λ_{s})) ∩ U)

und zeigen Sie dann mit Induktion die Behauptung.

4. Sei L ∈ End(ℝ^{n}). P_{L} (aufgefasst als Poynom in ℂ[x]) besitze 2k (verschiedene) komplexe Nullstellen λ_{1}, \overline{λ}_{1}, λ_{2}, \overline{λ}_{2}, …, λ_{k}, \overline{λ}_{k}, wobei λ_{j} = a_{j} + ib_{j} mit b_{j} ≠ 0 für 1 ≤ j ≤ k, und n − 2k (verschiedene) reelle Nullstellen λ_{2k+1}, …, λ_{n}. Zeigen Sie: Es existiert eine Basis G = (x_{1}, y_{1}, …, x_{k}, y_{k}, v_{2k+1}, …, v_{n}) von ℝ^{n}, so dass

Mat_{G}^{G}(L) = ( \begin{matrix}a_{1} & −b_{1} \\ b_{1} & a_{1} \end{matrix} ; \begin{matrix}a_{2} & −b_{2} \\ b_{2} & a_{2} \end{matrix} ; ... ; \begin{matrix}a_{k} & −b_{k} \\ b_{k} & a_{k} \end{matrix} ; λ_{2k+1} ; ... ; λ_{n})

Abgabe: Donnerstag, 10. Juli in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/