Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 9 10. Juli 2003

1. Lösen Sie die folgenden linearen Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung

(a) \frac{dv}{dt} = ( \begin{matrix}1 & 1 & −1 \\ −3 & −3 & 3 \\ −2 & −2 & 2 \end{matrix} ) v,

für eine Vektorfunktion v : ℝ → ℝ^{3}.

Hinweis: Benutzen Sie die Anwesenheitsaufgabe 1

(b) \frac{dv}{dt} = ( \begin{matrix}3 & 2 \\ −1 & 0 \end{matrix} ) v,

für eine Vektorfunktion v : ℝ → ℝ^{2}.

2. Finden Sie das 100-te Element der rekursiv definierten Folge:

x_{1} := −2; x_{i+1} := \frac{x_{i} + 1}{−x_{i} + 3}.

Hinweis: Benutzen Sie die Anwesenheitsaufgabe 3

3. Finden Sie die Jordanschen Normalformen aller Endomorphismen A ∈ End(ℝ^{n}) mit

A^{2} = Id.

4. Man betrachte den Vektorraum der Polynomfunktionen f : ℝ → ℝ von Grad ≤ n.

Zeigen Sie, dass die Ableitung

d : f(x) ↦ f′(x)

nilpotent ist. Bestimmen Sie den Nilpotenzgrad und die Jordansche Normalform.

Abgabe: Donnerstag, 17. Juli in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/