Übungen zur Vorlesung ”Lineare Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 10 17. Juli 2003

1. Seien 𝔄_{1} und 𝔄_{2} affine Räume und A: 𝔄_{1} → 𝔄_{2} eine affine Abbildung. Zeigen Sie:

(a) Ist U ein affiner Unterraum von 𝔄_{1}, so ist A(U) ein affiner Unterraum von 𝔄_{2}, und es gilt dim f(U) ≤ dim U.

(b) Sind U_{1} und U_{2} parallele Unterräume von 𝔄_{1}, so sind auch f(U_{1}) und f(U_{2}) parallel.

(c) A erhält Teilverhältnisse: Liegen die Punke a, b, c ∈ 𝔄_{1} auf einer Geraden und gilt \overrightarrow{ab} = λ \overrightarrow{bc}, so gilt \overrightarrow{A(a)A(b)} = λ \overrightarrow{A(b)A(c)}.

2. Betrachten Sie den affinen Raum ℝ^{3}. Gegeben seien die Punkte a_{0} := (1, 2, 3), a_{1} := (0, 1, 1), a_{2} = (−1, 2, 1), a_{3} := (1, 0, 2) und b_{0} := (4, 0, 1), b_{1} := (−2, −1, 0), b_{2} := (1, 1, 1), b_{3} := (1, 0, −1).

(a) Zeigen Sie, dass (a_{0}, a_{1}, a_{2}, a_{3}) ein affines Koordinatensystem bildet.

(b) Sei A: ℝ^{3} → ℝ^{3} die affine Abbildung, die bestimmt ist durch die Vorschrift A(a_{i}) := b_{i} für i = 0, 1, 2, 3. Bestimmen Sie die Darstellung der Abbildung A bezüglich des Standardkoordinatensystems (0, e_{1}, e_{2}, e_{3}).

3. Sei D := \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≠ 0\} und f: D → ℝ^{2} definiert durch f(x, y) := (\frac{1}{x}, \frac{y}{x}). Zeigen Sie:

(a) f bildet Geraden auf Geraden ab.

(b) f ist nicht affin.

4. Sei 𝔄 eine affine Ebene (d.h. ein zweidimensionaler affiner Raum) über ℝ. Für je zwei Punkte a, b bezeichne G_{ab} die Gerade durch a und b.

Seien a, b, c, d ∈ 𝔄 vier Punkte, die nicht auf einer Geraden liegen. Die Geraden G_{ab} und G_{cd} seien parallel. Die Geraden G_{bc} und G_{ad} mögen sich im Punkt p schneiden, die Geraden G_{ac} und G_{bd} im Punkt q. Sei m_{1} der Mittelpunkt der Strecke ab und m_{2} der Mittelpunkt der Strecke cd.

(a) Fertigen Sie eine Skizze der Situation an.

(b) Zeigen Sie: Die Punkte m_{1}, m_{2}, p und q liegen auf einer Geraden.

Abgabe: Donnerstag, 24. Mai in der Vorlesung Bitte schreiben Sie Ihren Namen und die Nummer Ihrer Übungsgruppe auf Ihr Blatt

Internet: http://web.mathematik.uni-freiburg.de/mi/geometrie/la2/