Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 1 5.–6. Mai 2003

1. Parallelogramm-Regel.

Sei V ein euklidischer Vektorraum und seien v, w ∈ V ∖ {0}. Zeigen Sie:

∥v + w∥^{2} + ∥v − w∥^{2} = 2(∥v∥^{2} + ∥w∥^{2})

Fertigen Sie eine Skizze an. Was hat das mit einem Parallelogramm zu tun?

2. Betrachten Sie den Vektorraum C^{0}([−1, 1], ℝ) = {f: [−1, 1] → ℝ | f ist stetig} mit dem

L^{2}-Skalarprodukt

⟨f, g⟩_{L^{2}} = ∫_{−1}^{1} f(x)g(x) dx ,

und f_{0}, f_{1}, f_{2} ∈ C^{0}([−1, 1], ℝ) gegeben durch f_{0}(x) = 1, f_{1}(x) = x, f_{2}(x) = x^{2}. Wenden Sie das Gram-Schmidtsche Orthonormalisierungsverfahren auf f_{0}, f_{1}, f_{2} an und berechnen Sie das zugehörige ONS g_{0}, g_{1}, g_{2}.