Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 2 12.–13. Mai 2003

1. Sei V ein (möglicherweise unendlich-dimensionaler) euklidischer Vektorraum und U ⊆ V ein endlich-dimensionaler Unterraum. Zeigen Sie:

(a) V = U ⊕ U^{⊥}

(b) (U^{⊥})^{⊥} = U Hinweis: Wählen Sie eine Orthonormalbasis von U.

2. Sei L ∈ SO(ℝ^{2}) ∖ {id_{ℝ^{2}}} und b ∈ ℝ^{2}. Sei F: ℝ^{2} → ℝ^{2} definiert durch F (x) = L(x) + b. Zeigen Sie: F besitzt einen Fixpunkt (d. h. es existiert ein Punkt p ∈ ℝ^{2} mit F (p) = p).