Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 3 19.–20. Mai 2003

1. Für φ ∈ ℝ bezeichen A_{φ} ∈ ℝ^{2×2} die ”Drehmatrix“ A_{φ} := (\begin{matrix}cos φ & − sin φ \\ sin φ & cos φ \end{matrix}). Zeigen Sie: Die Gleichung A_{φ} · A_{ψ} = A_{φ+ψ} ist äquivalent zu den Additionstheoremen für Sinus und Kosinus.

2. Direkte Summe mit endlich vielen Summanden. Sind U_{1}, …, U_{k} Unterräume des Vektorraums V, so heißt V die direkte Summe der U_{1}, …, U_{k} (geschrieben V = U_{1} ⊕ ⋯ ⊕ U_{k} = ⨁_{i=1}^{k} U_{i}), falls gilt:

(i) V = span ( ⋃_{i=1}^{k} U_{i}) und

(ii) ∀i ∈ {1, …, k}: U_{i} ∩ span ( ⋃_{j=1,j≠i}^{k} U_{j}) = {0}

(vgl. Hausaufgaben, Aufgabe 4). Betrachten Sie anstelle der Bedingung (ii) die Bedingung

(ii)′ Für alle i, j ∈ {1, …, k} mit i ≠ j ist U_{i} ∩ U_{j} = {0}. Ist für k > 2 die Bedingung (ii) äquivalent zu (ii)′?

3. Stellen Sie (in Analogie zum Fall n = 3, der in der Vorlesung behandelt wurde) eine Liste von allen möglichen Normalformen für orthogonale Abbildungen L ∈ O(ℝ^{4}) auf.