Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 4 26.–27. Mai 2003

1. Seien V, W K-Vektorräume, L ∈ Hom(V, W) und L^{∗}: W^{∗} → V^{∗} wie in der Vorlesung

definiert durch

∀l ∈ W^{∗}, v ∈ V : (L^{∗}(l))(v) := l(L(v)) .

Zeigen Sie: L^{∗} ∈ Hom(W^{∗}, V^{∗}).

2. Schiefkörper der Quaternionen. Auf ℍ := ℝ^{4} wird wie folgt eine nicht-kommutative Multiplikation ℍ × ℍ → ℍ definiert: Man schreibt e := e_{1}, i := e_{2}, j := e_{3}, k := e_{4} und setzt: e·x = x·e = x für alle x ∈ ℍ, i^{2} = j^{2} = k^{2} = −e, i·j = −j ·i = k, j ·k = −k ·j = i, k · i = −i · k = j.

(a) Zeigen Sie, dass durch diese Festsetzung und die Forderung, dass die Multiplikation bilinear ist (anders ausgedrückt: dass das Distributivgesetz gilt), tatsächlich eine bilineare Abbildung ℍ × ℍ → ℍ, also ein Produkt auf ℍ definiert wird.

(b) Zeigen Sie, dass für diese Multiplikation das Assoziativgesetz gilt.

Da e · x = x · e = x für alle x ∈ ℍ, ist e neutrales Element der Multiplikation und wir schreiben im Folgenden 1 statt e.

(c) Zeigen Sie, dass rx = (re) · x für alle r ∈ ℝ und alle x ∈ ℍ.

Wir können deshalb ℝ × {(0, 0, 0)} = span{e} mit ℝ identifizieren (ähnlich wie wir das bei den komplexen Zahlen getan haben). Die Elemente von span{e} heißen reell. Die Elemente von Im ℍ := {0} × ℝ^{3} = span{i, j, k} heißen imaginär. Für x = α + b ∈ ℍ mit α ∈ ℝ und b ∈ Im ℍ definiert man das Konjugierte von x durch \overline{x} := α − b. Zeigen Sie:

(d) x ∈ ℍ ist genau dann reell, wenn \overline{x} = x ist. x ∈ ℍ ist genau dann imaginär, wenn \overline{x} = −x ist.

(e) Für alle x, y ∈ ℍ gilt \overline{x · y} = \overline{y} · \overline{x}. Hinweis: Es reicht, dies für die Basiselemente 1, i, j, k nachzuweisen (warum?).

(f) Für alle x ∈ ℍ ist ∥x∥^{2} = x\overline{x} = \overline{x}x (∥ ∥ ist die Norm bezüglich des Standardskalarprodukts auf ℝ^{4}).

(g) ∥x · y∥ = ∥x∥∥y∥ für alle x, y ∈ ℍ.

(h) Für alle x ∈ ℍ ∖ \{0\} ist \frac{1}{∥x∥^{2}} \overline{x} multiplikatives Inverses zu x.

(ℍ, +, ·) erfüllt damit alle Axiome eines Körpers bis auf die Kommutativität der Multiplikation. So eine Gebilde heißt Schiefkörper. Die Elemente von ℍ heißen Quaternionen.

Mehr über Quaternionen und die Darstellung von Elementen von SO(3) durch Quaternionen der Norm 1 (vgl. Hausaufgabe 4) finden Sie in Kapitel 7 Hamiltonsche Quaternionen (M. Koecher, R. Remmer) in dem Buch Ebbinghaus et al., Zahlen, Springer-Verlag