Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 4 a 2.–3. Juni 2003

1. Sei [a, b] ⊆ ℝ, V = C^{0}([a, b], ℝ) und l: V → ℝ definiert durch

l(f) := ∫_{a}^{b} f(t) dt

Zeigen Sie: l ∈ V^{∗}.

2. Sei V ein ℝ-Vektorraum, dim V = n ≥ 1.

Zwei geordnete Basen (v_{1}, …, v_{n}) und (w_{1}, …, w_{n}) heißen gleichorientiert ⟺ Für den Endormorphismus L von V mit L(v_{i}) = w_{i} für 1 ≤ i ≤ n gilt det L > 0.

(a) Sei D eine Determinantenform auf V. Zeigen Sie:

(v_{1}, …, v_{n}) und (w_{1}, …, w_{n}) sind gleichorientiert ⟺ \frac{D(w_{1}, …, w_{n})}{D(v_{1}, …, v_{n})} > 0

(b) Zeigen Sie: ”gleichorientiert“ ist eine Äquivalenzrelation auf der Menge der geordne-

ten Basen von V. Es gibt genau 2 Äquivalenzklassen.

3. Sei V ein K-Vektorraum

(a) Sei U ⊆ V ein Unterraum und U^{s} = {l ∈ V^{∗} | ∀u ∈ U: l(u) = 0}. Zeigen Sie: U ⫋ V ⟺ U^{s} ≠ {0}

(b) Sei W ⊆ V^{∗} ein Unterraum und W_{s} = {v ∈ V | ∀l ∈ W: l(v) = 0}. Zeigen Sie:

Aus W ⫋ V^{∗} folgt nicht W_{s} ≠ {0}.

Anleitung: Nehmen Sie ein V mit dim V = ∞ und eine Basis B von V und setzen Sie

W = {l ∈ V^{∗} | l(b) ≠ 0 nur für endlich viele b ∈ B} ,

und zeigen Sie: W ≠ V^{∗}, aber W_{s} = {0}.