Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 5 16.–17. Juni 2003

1. Sei V ein n-dimensionaler, orientierter, euklidischer Vektorraum. Beweisen Sie, dass für alle w_{1}, …, w_{n−1} ∈ V und jede Permutation σ ∈ Σ_{n−1} gilt:

w_{σ(1)} × ⋯ × w_{σ(n−1)} = sgn(σ) w_{1} × ⋯ × w_{n−1}

2. Sei V der K-Vektorraum aller Folgen (a_{n})_{n∈ℕ} mit a_{n} ∈ K für alle n ∈ ℕ und a_{n} = 0 für alle bis auf endlich viele n ∈ ℕ.

Sei W der K-Vektorraum aller Folgen (b_{n})_{n∈ℕ}, b_{n} ∈ K für alle n ∈ ℕ.

Die Abbildung L: W → V^{∗} sei definiert durch

(L((b_{n})_{n∈ℕ}))((a_{n})_{n∈ℕ}) = ∑_{i=0}^{∞} b_{i}a_{i}

(beachten Sie, dass die scheinbar unendliche Summe nur endlich viele Summanden ≠ 0 besitzt).

Zeigen Sie: L ist ein Isomorphismus.

(Dies ist ein Hinweis darauf, dass in diesem Fall V^{∗} ”größer“ ist als V. Wählt man K = ℚ, so ist V abzählbar, aber W, und damit V^{∗}, überabzählbar.)