Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 6 23.–24. Juni 2003

1. Sei (G, ·) eine Gruppe und sei H eine Untergruppe von G (d. h., e ∈ H und wenn h_{1}, h_{2} ∈ H, so ist auch h_{1}h_{2}^{−1} ∈ H). Zeigen Sie:

(a) Die Relation ∼_{H} auf G, die durch

g_{1} ∼_{H} g_{2} ⟺ g_{2}^{−1}g_{1} ∈ H

definiert ist, ist eine Äquivalenzrelation mit den Äquivalenzklassen

gH = {gh | h ∈ H}.

(b) Für jedes g ∈ G ist die Abbildung von H nach gH, die h ∈ H auf gh ∈ gH abbildet, eine Bijektion.

Bezeichnung: Die Ordnung von G ist die Anzahl der Elemente von G. Sie wird mit |G| bezeichnet. Der Index von H in G, bezeichnet als [G : H], ist die Anzahl der Äquivalenzklassen von ∼_{H}, d. h. die Anzahl der Elemente der Menge G/H := {gH | g ∈ G}.

(c) Zeigen Sie: Ist |G| < ∞, so gilt

|G| = [G : H] |H|

(Speziell folgt: |H| teilt |G|.)

2. Teilen Sie das Polynom f := x^{5} + 3x^{4} − x^{3} + x^{2} − 2 ∈ ℚ[x] durch g := x^{2} + 2x − 1 ∈ ℚ[x] mit Rest (d. h., finden Sie Polynome h und r ∈ ℚ[x], so dass f = g · h + r mit grad(r) < grad(g)).