Anwesenheitsaufgaben zur ”Linearen Algebra II“ im Sommersemester 2003 bei Prof. V. Bangert

Blatt 7 30. Juni/1. Juli 2003

1. Sei p ∈ ℝ[x] ⊆ ℂ[x] und sei λ ∈ ℂ eine Nullstelle von p. Zeigen Sie:

Dann ist auch \overline{λ} eine Nullstelle von p.

2. Sei V (⟨, ⟩) ein euklidischer Vektorraum und sei L ∈ End(V) selbstadjungiert, d. h., ∀v, w ∈ V : ⟨L(v), w⟩ = ⟨v, L(w)⟩. Zeigen Sie: Sind v und w Eigenvektoren von L zu verschiedenen Eigenwerten, so gilt ⟨v, w⟩ = 0.

3. Sei L ∈ End(ℝ^{n}) und L̃ ∈ End(ℂ^{n}) die ℂ-Fortsetzung von L, d. h.

L̃(x + iy) := L(x) + iL(y) für alle x, y ∈ ℝ^{n}.

Zeigen Sie:

(a) P_{L} = PL̃. Hinweis: Matrixdarstellung

(b) Ist λ ∈ ℂ ein Eigenwert von L̃, so auch \overline{λ}.

(c) Ist λ = a + ib mit a ∈ ℝ, b ∈ ℝ ∖ {0} ein Eigenwert von L̃ und ist v = x + iy mit

x, y ∈ ℝ^{n} ein Eigenvektor zum Eigenwert λ, so gilt

L(x) = ax − by , L(y) = bx + ay ,

und x und y sind linear unabhängig.